\ANG{
Nach dem Einkommensteuergesetz \S 32a der Bundesrepublik Deutschland (1997)
betr"agt die Einkommensteuer

\hspace{1cm} bis 12 095 DM (Grundfreibetrag) 0 DM.

\hspace{1cm} von 12 096 DM bis 55 727 DM in DM:
$(86{,}63\cdot y+2\,590)\cdot y$

\hspace{1cm} von 55 728 DM bis 120 041 DM in DM:
$(151{,}91\cdot z+3\,346)\cdot z+12\,949$

\hspace{1cm} von 120 042 DM an in DM: $0{,}53\cdot x-22\,842$

$y$ ist ein Zehntausendstel des 12 042 DM "ubersteigenden Teils des abgerundeten
zu versteuernden Einkommens.\\
$z$ ist ein Zehntausendstel des 55 674 DM "ubersteigenden Teils des abgerundeten
zu versteuernden Einkommens.\\
$x$ ist das abgerundete zu versteuernden Einkommen.

Das zu versteuernde Einkommen ist auf den n"achsten durch 54 ohne Rest teilbaren
Betrag abzurunden, wenn es nicht bereits durch 54 ohne Rest teilbar ist.

\begin{enumerate}
\item Geben Sie die im Einkommensteuergesetz definierte Funktion ohne
Ber"ucksichtigung der Rundungsregel als intervallweise definierte Funktion
$f(x)$ auf $\RR_0^+$ in Abh"angigkeit vom zu versteuerndem Einkommen $x$ in DM 
an. W"ahlen Sie folgende Intervallgrenzen: $< 12\,096$, $< 55\,728$ 
und $< 120\,042$. 
\item Untersuchen Sie $f$ und die dem Gesetz exakt entsprechende Funktion 
$g$ auf Stetigkeit.
\item Zeichnen Sie $f$ und die im Einkommensteuergesetz definierte Funktion
$g$ f"ur $x<12800$.
\item Stellen Sie die Funktion $f$ mit einer geeigneten Software f"ur
$x<150000$ graphisch dar.
\item Berechnen Sie die Ableitung der Funktion $f$.
\item Stellen Sie $f'$ mit einer geeigneten Software f"ur $x<150000$
graphisch dar und interpretieren Sie das Diagramm.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ccc}
                     0 &\mbox{falls} & x < 12\,096\\
                     86{,}63\cdot 10^{-8}x^2+0{,}238136x-2993{,}26 & 
                     \mbox{falls} & 12\,096 \le x < 55\,728\\
                     151{,}91\cdot 10^{-8}x^2+0{,}165451 x-970{,}93 & 
                     \mbox{falls} & 55\,728 \le x < 120\,042\\
                     0{,}53x-22\,842 & \mbox{falls} & 
                     \,x\ge 120\,042
\end{array}\right. $$
\item $f(x)$ ist unstetig f"ur $x=12\,096$, $x=55\,728$ und $x=120\,042$, 
  sonst stetig.\\
  $g(x)$ ist unstetig f"ur $12\,096+k\cdot 54$ mit $k\in\ZZ_0$, sonst stetig.
\item[(e)] $$f'(x)=\left\{ \begin{array}{ccc}
                     0 & \mbox{falls} & x < 12\,096\\
                     173{,}26\cdot 10^{-8}x+0{,}238136 & 
                     \mbox{falls} & 12\,096 < x < 55\,728\\
                     303{,}82\cdot 10^{-8}x+0{,}165451 & 
                     \mbox{falls} & 55\,728 < x < 120\,042\\
                     0{,}53 & \mbox{falls} & x > 120\,042
\end{array}\right. $$
\end{enumerate}
}

