\ANG{
\begin{minipage}{10cm}
Gegeben sind die in $\mathrm{\RR}$ definierte Funktion f mit $\mathrm{f(x)=\frac 1 8 x^3}$
sowie die Punkte $\mathrm{Q_a\left(a|f(a)\right)}$ für $\mathrm{a \in \RR}$. Die Abbildung
zeigt den Graphen von f sowie die Punkte $\mathrm{P(0|2)}$ und $\mathrm{Q_2}$.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}\phantom{xxx}
\end{minipage}
\begin{minipage}{6cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1211KE01_7a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie für $\mathrm{a \ne 0}$ die Steigung $\mathrm{m_a}$ der Gerade durch die Punkte
P und $\mathrm{Q_a}$ in Abhängigkeit von a.
\item Die Tangente an den Graphen von f im Punkt $\mathrm{Q_a}$ wird mit $\mathrm{t_a}$ bezeichnet.
Bestimmen Sie rechnerisch denjenigen Wert von $\mathrm{a \in \RR}$, für den $\mathrm{t_a}$ durch P verläuft.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2021, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG {
\begin{enumerate}
\item Steigung: $\mathrm{m_a = \D\frac{f(a)-2}{a-0}=\frac{\frac 1 8 a^3 - 2}{a}=\frac {a^3-16}{8a}}$
\item Tangentensteigung $\mathrm{f'(x)=\frac 3 8 \, x^2;}$ für $\mathrm{a \ne 0}$ gilt:\\
$\mathrm{f'(a) = m_a \Leftrightarrow \frac 3 8 a^2 = \frac {a^3 - 16}{8a} \Leftrightarrow 3 a^3 = a^3 - 16 \Leftrightarrow a^3 = -8 \Leftrightarrow a = -2}$
\end{enumerate}
}