\ANG{
Gegeben ist die Schar der in $\mathrm{\RR}$ definierten Funktionen $\mathrm{f_{a;b}: x \mapsto ax^3-bx}$
mit $\mathrm{a,b \in \RR^+}$. Die Abbildung zeigt den Graphen einer der Funktionen der Schar.\\[1.5ex]
\includegraphics[width=0.5\linewidth]{12rr1211KE01_11a.png}
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass jeder Graph der Schar symmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist. 
\item Weisen Sie in Abhängigkeit von a und b nach, dass der Graph $\mathrm{f_{a;b}}$ einen Tiefpunkt
mit der x-Koordinate $\mathrm{\sqrt{\frac b {3a}}}$ hat.  Begründen Sie, dass er zudem einen Hochpunkt 
besitzt und dass dieser eine kleinere x-Koordinate hat als der Tiefpunkt.
% \item Es gibt eine Funktion der Schar, die bei $\mathrm{x=3}$ eine Nullstelle hat und deren Graph 
% im vierten Quadranten mit der x-Achse ein Flächenstück mit dem Inhalt 40,5 ein
% schließt. Bestimmen Sie die zugehörigen Werte von a und b. 
\end{enumerate}
Die Funktion der Schar, deren Graph in der Abbildung dargestellt ist, wird mit f bezeichnet; 
ihr Funktionsterm ist $\mathrm{f(x) = x^3 -4x}$.

\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{2}

\item Die Tangente an den Graphen von f im Punkt $\mathrm{A\left( 2|0\right)}$, die x-Achse und die Gerade 
g mit der Gleichung $\mathrm{y=-x-2}$ schließen ein Dreieck ein. Berechnen Sie seinen Flächeninhalt. 
\item Begründen Sie, dass die folgende Aussage richtig ist: \textit{
Ist P ein beliebiger Punkt auf dem Graphen von f, so liegt der Mittelpunkt der 
Verbindungsstrecke von P und dem Koordinatenursprung auf dem Graphen 
der in $\RR$ definierten Funktion $h: x \mapsto 4x^3-4x$.}
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, erhöhtes Niveau, mit WTR)
}
\LSG {
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{f_{a;b}(-x) = a \cdot (-x)^3 - b \cdot (-x) = -\left( a x^3 - bx \right) \, \checkmark}$
\item $\mathrm{f_{a;b}' = 3ax^2 - b; \quad f_{a;b}'\left( \sqrt{\frac b {3a}}\right) = 3a \cdot \frac b {3a} - b = 0 }$\\
$\mathrm{f_{a;b}''(x) = 6a\, x; \quad f_{a;b}'' \left( \sqrt{\frac b {3a}\right) = 6a \cdot \sqrt{\frac b {3a}} > 0 }$\\
Aufgrund der Punktsymmetrie hat der Graph $\mathrm{f_{a;b}}$ an der Stelle $\mathrm{-\sqrt{\frac b {3a}}}$
einen Hochpunkt; dessen x-Koordinate ist damit kleiner als die des Tiefpunkts.
\item $\mathrm{f'(x) = 3 x^2-4; \quad f'(2) = 8}$\\
$\mathrm{0 = 8 \cdot 2 + n \Leftrightarrow n = -16}$ \\
Gleichung der Tangente: $\mathrm{y = 8 \, x - 16}$\\
Schnittpunkt von Tangente und Gerade g:\\
$\mathrm{8x-16 = -x-2 \Leftrightarrow x = \frac {14} 9; \quad y = -\frac 714} 9 - 2 = -\frac {32} 9}$\\
Flächeninhalt: $\mathrm{\frac 1 2 \cdot 4 \cdot \frac {32} 9 = \frac {64} 9}$
\item Bezeichnet x die x-Koordinate eines beliebigen Punkts P auf dem Graphen von f, 
so ist nachzuweisen, dass der Punkt $\mathrm{\left( \frac x 2 | \frac {f(x)} 2\right)}$ auf dem Graphen von h liegt:\\
$\mathrm{h\left( \frac x 2\right) = 4 \cdot \left( \frac x 2 \right)^3 - 4 \cdot \frac x 2 = \frac 1 2 \cdot \left( x^3-4x\right) = \frac 1 2 \, f(x) \, \checkmark}$
\end{enumerate}
}