\ANG{
\begin{minipage}{8.5cm}
Die Kosten, die einem Unternehmen bei der Herstellung einer Flüssigkeit entstehen,
können durch die Funktion $\mathrm{K: x \mapsto x^3 - 12 x^2 + 50 x + 20$ mit $x \in \left[0;9\right]}$ beschrieben werden. 
Dabei gibt K(x) die Kosten in 1000 Euro an,
die bei der Produktion von x Kubikmetern der Flüssigkeit insgesamt entstehen. Die Abbildung zeigt den Graphen von K.
\end{minipage}
\begin{minipage}{.5cm}\phantom{xxx}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\includegraphics[width=.9\linewidth]{12rr1211KE01_2a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
    \item Geben Sie mithilfe der Abbildung die Produktionsmenge an, bei der die Kosten
125$\,$000 Euro betragen.
\item Geben Sie das Monotonieverhalten von K an und deuten Sie Ihre Angabe im Sachzusammenhang.
\item Beurteilen Sie folgende Aussage: \\
\emph{Je größer die Produktionsmenge ist, desto höher sind die Kosten, die die Produktion eines zusätzlichen Kubikmeters der Flüssigkeit verursacht.}
\item[]
Die Funktion E mit $E(x) = 23x$ gibt für $0 \le x \le 9$ den Erlös (in 1000 Euro) an, den das Unternehmen beim Verkauf von x Kubikmetern der Flüssigkeit erzielt. Für die sogenannte Gewinnfunktion G gilt $G(x) = E(x) - K(x)$. Positive Werte vin G werden als Gewinn bezeichnet, negative als Verlust.
\item Zeigen Sie, dass das Unternehmen keinen Gewinn erzielt, wenn vier Kubikmeter
der Flüssigkeit verkauft werden.
\item Zeichnen Sie den Graphen von E in Abbildung 3 ein. Bestimmen Sie mithilfe der so
entstehenden Darstellung den Bereich, in dem die verkaufte Menge der Flüssigkeit
liegen muss, damit das Unternehmen einen Gewinn erzielt.
\item Berechnen Sie, welche Menge der Flüssigkeit verkauft werden muss, damit das
Unternehmen den größten Gewinn erzielt.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe: IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2018, Teil B, erhöhtes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Produktionsmenge beträgt etwa $7\,\mathrm{m^3}$.
\item K ist streng monoton wachsend, d. h. mit zunehmender Produktionsmenge nehmen
die Kosten zu.
\item Die Aussage ist falsch. \\
Begründung: $K(3) - K(2) < K(2) - K(1)$.
\item $E(4)-K(4) = 92-92 = 0$
\item \begin{minipage}{4cm}
\includegraphics[width=\linewidth]{12rr1211KE01_2b.png}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
Das Unternehmen erzielt nur für $4<x<x_S$ mit $x_S \approx 8,6$ einen Gewinn.   
\end{minipage}
\item $G(x) = -x^3 + 12 x^2 -27x -20, \quad G'(x) = -3x^2+24x-27$ \\
Für $4 < x < x_S$ mit $x_S \approx 8,6$ gilt: $G'(x) = 0 \leftrightarrow x = 4 + \sqrt 7 \approx 6,6$ \\
Es müssen 6,6 Kubikmeter gekauft werden.
\end{enumerate}
}