\ANG{
Gegeben ist die in $\mathrm{\RR}$ definierte Funktion $\mathrm{f:x \mapsto 2 x \cdot e^{-0,5 x^2}}$. Die
Abbildung zeigt den Graphen $\mathrm{G_f}$ von f.\\[1.5ex]

\includegraphics[width=.5\linewidth]{12rr1212KE04_3a.png}\\[1.5ex]

Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich 
zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die 
jedes Jahr statistisch ermittelt wird. \\
Die Funktion $\mathrm{g: x \mapsto f(x) + 1,4 = 2 x \cdot e^{-0,5 x^2} + 1,4}$ beschreibt für $\mathrm{x \ge 0}$ modellhaft die 
zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei 
ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. $\mathrm{x=1}$  
entspricht dem Jahr 1965) und $\mathrm{g(x)}$ die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl 
in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist 
dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich. 
\begin{enumerate}
\item Zeichnen Sie den Graphen $\mathrm{G_g}$ von g in die Abbildung ein  und ermitteln Sie 
graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt.
\item Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage 
des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort. 
\item Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am 
stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe der Abbildung einen Näherungswert 
für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundlage
 des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der 
Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.
\end{enumerate}
\\(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2013, Teil B, erhöhtes Niveau, WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Die Geburtenziffer beträgt im Zeitraum von 1959 bis 1973 mindestens 2,1.
\item z. B. \\
Auf Grundlage des Modells ist die Geburtenziffer vom Jahr 1974 an kleiner als 2,1.
Damit ist künftig eine Abnahme der Bevölkerungszahl zu erwarten.
\item Näherungswert 1972.\\
Man müsste für $\mathrm{x > 1,7}$ zeigen, dass $\mathrm{g''(x) > 0}$ gilt.
\end{enumerate}
}