\ANG{
\begin{minipage}{7.5cm}
Der abgebildete Graph der in $\mathrm{\RR}$ definierten Funktion f mit 
$\mathrm{f(x) = 3 \cdot \left( x+10 \right) \cdot e^{-0{,}1 \, x}}$
stellt für $\mathrm{0 \le x \le 44}$ den Längsschnitt einer
Rutschbahn dar. Der Anfang der Rutschbahn wird im Modell durch den Punkt $\mathrm{\left( 0|f(0)\right)}$
beschrieben, ihr Ende durch den Punkt $\mathrm{\left( 44|f(44)\right)}$.
Im verwendeten Koordinatensystem beschreibt die x-Achse den horizontalen Erdboden.
Eine Längeneinheit entspricht 10 cm in der Wirklichkeit.\\
\end{minipage}
\begin{minipage}{0,5cm}\phantom{xxx}\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1212KE04_4a.png}
\end{minipage}\\
Für die erste und die zweite Ableitungsfunktion gilt: 
\\$\mathrm{f'(x)=-0{,}3 \, x \cdot e^{-0{,}1 \, x}}$ bzw.
$\mathrm{f''(x) = 0{,}03 \cdot \left( x - 10\right) \cdot e^{-0{,}1 \, x}}$.
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie den Höhenunterschied zwischen dem Anfang und dem Ende der Rutschbahn.
\end{enumerate}
In einer Zusammenstellung der Sicherheitskriterien für Rutschbahnen auf öffentlichen Spielplätzen einer Gemeinde heißt es: 
\begin{itemize}
\item {I} \textit{Der durch den Anfangspunkt und den Endpunkt der Rutschbahn festgelegte Winkel gegenüber der Horizontalen darf eine Größe 
                  von 45° nicht überschreiten. }
\item {II} \textit{Neigungswinkel gegenüber der Horizontalen mit einer Größe über 60° 
                   sind an keinem Punkt der gesamten Rutschbahn zulässig. }
\end{itemize}
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{1}
\item Beurteilen Sie ohne weitere Rechnung, ob die betrachtete Rutschbahn das Sicherheitskriterium I erfüllt. 
Veranschaulichen Sie Ihre Überlegungen hierzu in der Abbildung.
\item Untersuchen Sie rechnerisch, ob die Rutschbahn das Sicherheitskriterium II erfüllt.
\item Die Rutschbahn wird durch eine Strebe gestützt. Die Strebe kann im Modell durch 
eine Strecke beschrieben werden, die vom Punkt $\mathrm{P\left( 40|f(40)\right)}$
 senkrecht zur Tangente an den Graphen von f im Punkt P verläuft. Berechnen Sie die Länge der 
Strebe zwischen der Rutschbahn und dem Erdboden.
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, erhöhtes Niveau, WTR)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{f(0)-f(44) \approx 28{,}0}$\\
Der Höhenunterschied beträgt etwa 280 cm.
\item Beurteilung mit Hilfe der Abbildung:\\
\begin{minipage}{6cm}
Die Gerade durch $\mathrm{\left( 0|30\right)}$ und $\mathrm{\left( 30|0\right)}$ schließt mit der x-Achse 
einen Winkel der Größe 45° ein und verläuft steiler als die eingezeichnete Sekante.\\
Das Sicherheitskriterium I ist erfüllt.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0,5cm}\phantom{xxx}\end{minipage}
\begin{minipage}{10,5cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1212KE04_4b.png}
\end{minipage} 
\item aus $\mathrm{f''(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10}$ ergibt sich in Verbindung mit der Abbildung 10 als Wendestelle.\\
$\mathrm{tan(\alpha) = f'(10) \Rightarrow \alpha \approx -48^o}$\\
Das Sicherheitskriterium II ist erfüllt.
\item Die Strecke ist Teil der Geraden mit der Gleichung $\mathrm{y = m \cdot x + b}$, wobei\\
$\mathrm{m = \frac {-1}{f'(40)} = \frac {e^4}{12}}$ und $\mathrm{b = f(40)-\frac {e^4}{12} \cdot 40 = 150 \cdot e^{-4} - 10 \cdot \frac {e^4} 3}$ gilt.\\
$\mathrm{0=\frac {e^4}{12} \cdot x + 150 \cdot e^{-4} - 10 \cdot \frac {e^4} 3 }$ führt zu $\mathrm{x_1 \approx 39{,}4}$.\\
Mit $\mathrm{\sqrt{\left( f(40)\right)^2+\left( 40-x_1\right)^2} \approx 2{,}8}$ ergibt sich die Länge der Strebe zu etwa 28 cm.
\end{enumerate}
}