\ANG{
Gegeben ist die über ganz $\RR$ definierte Funktion f mit $f: x \mapsto e^x$ und ein allgemeiner Graphenpunkt $Q_a\left(a|e^a\right)$ auf
dem Graphen von f.
\begin{enumerate}
\item Ermitteln Sie die allgemeine Gleichung der Tangente an f im Punkt $Q_a$.\\
\textit{(Kontrollergebnis: $y = e^a x + (1-a)\cdot e^a$) }
\item Geben Sie Koordinaten von $Q_2$ und die Gleichung der Tangente bei $Q_2$ an.
\item Bestimmen Sie denjenigen Graphenpunkt $Q_a$, dessen Tangente durch den Ursprung geht.
\item Die Tangente an $Q_2$ schließt im IV. Quadranten mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie dessen Flächeninhalt.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
Die allgemeine Geradengleichung ist $y = m \, x + t$. Gesucht sind m und t in Abhängigkeit von a.
	\begin{itemize}
	\item Ermittlung von m (Steigung): $m = f'(a) = e^a$.
	\item Ermittlung von t durch Einsetzen des Graphenpunktes, den die Tangente mit dem Graphen gemeinsam hat:\\
	$f(a) = f'(a) \cdot a + t \Leftrightarrow e^a = e^a \cdot a + t \Leftrightarrow e^a - e^a \cdot a = t \Leftrightarrow t = e^a \cdot \left(1 - a\right)$
	\end{itemize}
	Allgemeine Tangentengleichung: $y = e^a \cdot x + e^a \left(1 - a\right)$
\item
$Q_2 \left(2|e^2\right)\\
$y = e^2 \cdot x + e^2 \cdot (1-2) = e^2 \cdot x - e^2$
\item
Wenn die Gerade durch den Ursprung geht, dann muss ihr y-Achsenabschnitt $t = 0$ sein:\\
$e^a \cdot (1 - a) = 0 \Leftrightarrow a = 1$\\
Der Graphenpunkt ist also: $Q_1\left(1|e\right)$.
\item 
Eine Seitenlänge des Dreiecks ist Länge des Abschnitts auf der negativen y-Achse $t = e^a \left(1 - a\right)$.\\
Die andere Seitenlänge ist die Entfernung vom Ursprung bis zur Nullstelle der Tangente:\\
$0 = e^a x + e^a \left(1-a\right) \Leftrightarrow 0 = e^a \left(x + 1 - a\right) \Leftrightarrow x = a - 1$\\
Der Flächeninhalt A berechnet sich zu: $A = \left| e^2 \cdot \left(1 - 2\right) \cdot (2-1) \right| = e^2$.

\end{enumerate}
}