\ANG{
Gegeben ist die $\mathrm{\RR}$ definierte Funktion $\mathrm{g:x \mapsto x \cdot e^{-2x}}$.
\begin{enumerate}
\item Bestimmen Sie die Koordinaten des Punkts, in dem der Graph von g eine 
waagrechte Tangente hat.
\item  Geben Sie das Verhalten von g für $\mathrm{x \to -\infty}}$ und $\mathrm{x \to +\infty}$ an.
\end{enumerate}
\\(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2012, Teil A, erhöhtes, keine Hilfsmittel)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{g'(x) = e^{-2x}} + x \cdot e^{-2x} \cdot -2 = e^{-2x} \cdot \left(1 -2x \right)}$\\
$\mathrm{g'(x) = 0\Leftrightarrow 1-2x = 0 \Leftrightarrow x = \frac 1 2}$\\
$\mathrm{f\left( \frac 1 2 \right) = \frac 1 2 \cdot e^{-1} = \frac 1 {2e}}$\\
g hat im Punkt $\mathrm{P\left( \frac 1 2 | \frac 1 {2e} \right)}$ eine waagerechte Tangente.
\item $\mathrm{\lim\limits_{x \to -\infty} \underbrace{x}_{< 0} \cdot \underbrace{e^{-2x}}_{\to +\infty} = -\infty }$ und $\mathrm{\lim\limits_{x \to +\infty} \underbrace{x}_{\to +\infty} \cdot \underbrace{e^{-2x}}_{\to 0} = 0 }$, da die Exponentialfunktion ''gewinnt''.
\end{enumerate}
}