\ANG{
Gegeben sind die in $\mathrm{\RR}$ definierten Funktion $\mathrm{f_a}$ mit $\mathrm{f_a(x) = a \cdot e^{-x} + 3}$ 
und $\mathrm{a \in \RR \setminus \lbrace 0 \rbrace}$.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass $\mathrm{f_a'(0) = -a}$ gilt.
\item Betrachtet wird die Tangente an den Graphen von $\mathrm{f_a}$ im Punkt $\mathrm{\left(0|f_a(0)\right) }$.
Bestimmen Sie diejenigen Werte von a, für die diese Tangente eine 
positive Steigung hat und zudem die x-Achse in einem Punkt schneidet, 
dessen x-Koordinate größer als $\mathrm{\frac 1 2}$ ist.
\end{enumerate}
\\(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2022, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{f_a'(0)=-a \cdot e^{-0} = -a}$
\item $\mathrm{f_a(0) = 3 + a; \quad y = -a \cdot x + 3 + a}$ ist die Gleichung der Tangente.
Ihre Steigung ist positive für $\mathrm{a < 0}$.
x-Koordinate des Schnittpunkts: $\mathrm{-a \cdot x + 3 + a = 0 \Leftrightarrow x = \D\frac {3+a} a}$\\
Damit: $\mathrm{\frac 1 2 < \D\frac {3+a} a \Leftrightarrow \frac 1 2 a > 3 + a\Leftrightarrow a < -6}$
\end{enumerate}
}