\ANG{
Eine Funktion f ist durch $\mathrm{f(x) = 2 \cdot e^{\frac 1 2 x}-1}$ mit $\mathrm{x \in \RR}$ gegeben.
\begin{enumerate}
\item Ermitteln Sie die Nullstelle der Funktion f.
\item Die Tangente an den Graphen von f im Punkt $\mathrm{S\left( 0|1\right)}$ begrenzt mit den 
beiden Koordinatenachsen ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses 
Dreieck gleichschenklig ist. 
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB Abitur 2017, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{f(x) = 0 \Leftrightarrow 2 \, e^{\frac 1 2 \, x}-1 = 0\Leftrightarrow e^{\frac 1 2 \, x} = \frac 1 2\Leftrightarrow \frac 1 2 \, x = ln \frac 1 2}$
$\mathrm{\Leftrightarrow \frac 1 2 \, x = -ln 2 \Leftrightarrow x = -2 \, ln 2}$
\item $\mathrm{f'(x) = e^{\frac 1 2 \, x}; \quad f'(0) = 1}$\\
Tangente: $\mathrm{y = 1 \cdot x + t }; \quad 1 = 1 \cdot 0 + t \Leftrightarrow t = 1$\\
Tangentengleichung: $\mathrm{y = x + 1}$\\
Diese Tangente hat ihre Nullstelle bei $\mathrm{x = -1}$ und den y-Achsenabschnitt bei $\mathrm{y = 1}$, schneidet also von
beiden Achsen einen Schenkel der Länge 1 ab. Also ist das Dreieck gleichschenklig.
\end{enumerate}
}