\ANG{
Gegeben ist die Funktion $\mathrm{f: x \mapsto \D\frac {e^{2x}} x}$ mit dem Definitionsbereich $\mathrm{D_f = \RR \setminus \lbrace 0 \rbrace}$.
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f.
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB Abitur 2019, Teil A, erhöhtes Anforderungsniveau, keine Hilfsmittel)
} \LSG {
$\mathrm{f'(x) = \D\frac {2 \cdot e^{2x} \cdot x - e^{2x} \cdot 1}{x^2} = e^{2x} \cdot \D\frac {2 x - 1}{x^2}}$\\
$\mathrm{f'(x) = 0 \Leftrightarrow 2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = \frac 1 2}$.
$\mathrm{f \left( \frac 1 2 \right) = \D\frac {e^1}{\frac 1 2} = 2 e}$\\
\begin{tabular}{c|c|c|c}
 & $\mathrm{x < \frac 1 2}$ & $\mathrm{x = \frac 1 2}$ & $\mathrm{\frac 1 2 < x}$ \\ \hline
f'(x) & - & 0 & + \\ \hline
$\mathrm{G_f}$ & $\searraow$ & TIP & $\nearrow$ \\ \hline
\end{tabular}
Der Extrempunkt E$\mathrm{\left( \frac 1 2 | 2 e\right)}$ ist ein lokales Minimum.
}