\ANG{
\begin{minipage}{8cm}
Die Abbildung 1 zeigt die Graphen der in $\RR$
definierten Funktionen 
$\mathrm{r:x \mapsto -\left( x^2 - x - 1\right)}$ und $\mathrm{s:x \mapsto e^x}$. Die beiden Graphen haben 
genau einen gemeinsamen Punkt; dieser 
Punkt liegt auf der y-Achse.
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{8cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1212KE01_5a.png}
\end{minipage}\\[1.5ex]
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie die Nullstellen und die Extremstelle von r.
\item Beschreiben Sie, wie man den Abstand zwischen dem Graphen von r und der Gerade mit der Gleichung $\mathrm{y = 4}$ berechnen könnte. 
\item Berechnen Sie die Größe des Winkels, in dem der Graph von s die Gerade mit der 
Gleichung $\mathrm{y = 4}$ schneidet. 
\item Zeigen Sie, dass die Graphen von r und s in ihrem gemeinsamen Punkt eine gemeinsame 
Tangente haben, und geben Sie eine Gleichung dieser Tangente an.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2023, Teil B, grundlegendes Niveau, WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{r(x) = 0 \Leftrightarrow x^2 - x - 1 = 0}$ liefert $\mathrm{x_1=\frac 1 2 - \sqrt{\frac 1 4 + 1}}$ 
        und $\mathrm{x_2 = \frac 1 2 + \sqrt{\frac 1 4 + 1}}$.\\
        Extremstelle: $\mathrm{\frac 1 2 \cdot \left(x_1+x_2\right) = \frac 1 2}$
\item Bestimmt man die y-Koordinate des Hochpunkts des Graphen von r und subtrahiert diese von 4, so erhält man den beschriebenen Abstand. 
\item Für die x-Koordinate des Schnittpunkts gilt $\mathrm{s(x) = 4}$ und damit $\mathrm{s'(x) = 4}$. \\
$\mathrm{tan \varphi = 4}$ liefert $\mathrm{\varphi \approx 76^o}$.
\item $\mathrm{r'(x) = -2x+1, r'(0) = 1 = s'(0)}$\\
Gleichung der Tangente: $\mathrm{y = x+1}$

\end{enumerate}
}