\ANG{

\begin{minipage}{8cm}
Für jeden Wert von $\mathrm{a \in \RR}$ ist eine in $\RR$ definierte Funktion
$\mathrm{w_a:x \mapsto 4 \cdot \left( x^2 - x - 1\right) \cdot e^{-x} + a}$ gegeben.
Unabhängig von a sind 0 und 3 die einzigen 
Extremstellen von $\mathrm{w_a}$. Die Funktion $\mathrm{w_4}$ ist in Abbildung 2
dargestellt.
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\phantom{...}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1212KE03_2a.png}
\end{minipage}\\[1.5ex]
\begin{enumerate}
\item Beschreiben Sie den Einfluss des Parameters a auf den Graphen von $\mathrm{w_a}$.
\item Bestimmen Sie denjenigen Wert von a, für den der Mittelpunkt der Strecke zwischen 
den beiden Extrempunkten des Graphen von $\mathrm{w_a}$ auf der x-Achse liegt. 
\item Berechnen Sie den Wert des Terms $\mathrm{w_4(3)}$. Geben Sie alle Werte von a an, für 
die $\mathrm{w_a}$ genau eine Nullstelle hat.
 }
\end{enumerate}

(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2023, Teil B, grundlegendes Niveau, WTR)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item Eine Veränderung des Werts von a bewirkt eine Verschiebung des Graphen von $\mathrm{w_a}$
in y-Richtung. 

\item $\mathrm{\frac 1 2 \cdot \left( w_a(0) + w_a(3) \right) = \frac 1 2 \cdot \left( 2a - 4 +20e^{-3}\right)}$ \\
$\mathrm{2a-4+20e^{-3} = 0 \Leftrightarrow a = 2 - 10 \cdot e^{-3}}$

\item $\mathrm{w_4(3) = 4 + 20 e^{-3}}$ \\
$\mathrm{w_a}$ hat für $\mathrm{a < -20e^{-3}}$ und für $\mathrm{a=4}$ genau eine Nullstelle.
\end{enumerate}
}