\ANG{
\begin{minipage}{7.5cm}
Der abgebildete Graph der in $\mathrm{\RR}$ definierten Funktion f mit 
$\mathrm{f(x) = 3 \cdot \left( x+10 \right) \cdot e^{-0{,}1 \, x}}$ gehört (mit k=3)
zur Schar der in $\mathrm{\RR}$ definierten Funktionen 
$\mathrm{f_k(x)=k \cdot \left( x+10\right) \cdot e^{0{,}1 \, x}}$ und $\mathrm{k \in \RR, k \ne 0}$.
Der Graph von $\mathrm{f_k}$ wird mit $\mathrm{G_k}$ bezeichnet.
\end{minipage}
\begin{minipage}{0,5cm}\phantom{xxx}\end{minipage}
\begin{minipage}{9cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1212KE04_4a.png}
\end{minipage}\\
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass $\mathrm{-10}$ die einzige Nullstelle von $\mathrm{f_k}$ ist, und geben
Sie das Verhalten von $\mathrm{f_k}$ für $\mathrm{x \to -\infty}$ in Abhängigkeit von k an.
\item Für jeden Wert von k besitzt $\mathrm{G_k}$ genau einen Extrempunkt. Bestimmen Sie die
Koordinaten und die Art des Extrempunkts von $\mathrm{G_k}$ in Abhängigkeit von k.
\item Gür $\mathrm{k \ne -1}$ werden $\mathrm{G_k}$ und $\mathrm{G_{k+1}}$ betrachtet.
Berechnen Sie den Abstand der Schnittpunkte von $\mathrm{G_k}$ und $\mathrm{G_{k+1}}$ mit der y-Achse.
\item Beurteilen Sie folgende Aussage:
\textit{Spiegelt man einen beliebigen Graphen der Schar an der x-Achse, so entsteht ein anderer Graph der Schar.}
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2024, Teil B, erhöhtes Niveau, WTR)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item Wegen $\mathrm{k \cdot e^{-0{,}1 \, x} \ne 0}$ ist $\mathrm{-10}$ die einzige Lösung von $\mathrm{f_k(x)=0}$.\\
$\mathrm{\lim\limits_{x \to -\infty} f_k(x) = -\infty}$ für $\mathrm{k > 0}$ \\
$\mathrm{\lim\limits_{x \to -\infty} f_k(x) = +\infty}$ für $\mathrm{k < 0}$ 
\item $\mathrm{f'(x) = k \cdot \left( e^{-0{,}1 \, x} - 0{,}1 \cdot \left( x+10\right) \cdot e^{-0{,}1 \, x} \right) = -0{,}1 \cdot k \cdot x \cdot e^{-0{,}1 \, x}}$\\
$\mathrm{f_k'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 0}$ \\
$\mathrm{f_k(0) = 10k}$ \\
Der Extrempunkt von $\mathrm{G_k}$ ist $\mathrm{\left( 0|10k \right)}$\\
Unter Berücksichtigung der Nullstelle $\mathrm{-10}$ folgt, dass für positive Werte von k ein Hoch-, für negative Werte von k ein Tiefpunkt vorliegt.
\item $\mathrm{f_{k+1}(0)-f_k(0) = \left( k+1 \right) \cdot 10 - k \cdot 10 = 10}$
\item $\mathrm{-f_k(x) = -k \cdot \left( x+10\right) \cdot e^{-0{,}1 \, x} = f_{-k}(x)}$\\
Die Aussage ist wahr.
\end{enumerate}
}