\ANG{
Dargestellt sind die Graphen der beiden in $\RR$ definierten Funktionen:\\ 
$f: x \mapsto \sin(\e^x) \qquad $ und $ \qquad g: x \mapsto \e^{\sin(x)} $. \\
\includegraphics[width=.75\linewidth]{12rr1213KE02_1a.png}
\begin{enumerate}
\item Ordnen Sie die Graphen den Termen zu. Begründen Sie die Zuordnung mit Hilfe 
der Wertebereiche der Grundfunktionen sin(x) und $\mathrm{e}^x$.
\item Berechnen Sie für g(x) die Lage des ersten Maximums mit positiver x-Koordinate.
\item Ermitteln Sie für f(x) die Tangentengleichung an der Stelle x = 0.
\end{enumerate}
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item Die Sinusfunktion hat als Wertebereich $[-1;+1]$, daher kann f(x) höchstens diese Werte annehmen. Die Exponentialfunktion 
hat zwar als Wertebereich alle positiven reellen Zahlen, die Sinusfunktion liefert jedoch im Argument nur Zahlen zwischen -1 und +1. Da die Exponentialfunktion
streng monoton steigend ist, wird für g(x) als kleinster Wert $\e^{-1}$ und als größter Wert $\e^1$ angenommen.\\
Daher entspricht Graph II der Funktion f(x) und Graph I der Funktion g(x).
\item $g'(x) = \e^{\sin(x)} \cdot \cos(x)$. \\
$g'(x) = 0 \Leftrightarrow \e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) = 0 \Leftrightarrow \cos(x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac \pi 2$ (für die erste Extremstelle, die zugleich Maximum ist). \\
Funktionswert: $g\left( \frac \pi 2 \right) = \e^{\sin\left( \frac \pi 2 \right)} = \e^1 = \e$.\\
Lage: HOP$\left( \frac \pi 2 | \e \right)$
\item Steigung an der Stelle 0: $m = f'(x) = \cos(\e^x) \cdot \e^x$ also $f(0) = \cos(1) \cdot 1 = \cos(1) \approx 0,54$\\
Funktionswert an der Stelle 0: $y = f(0) = \sin(1) \approx 0,84$\\
y-Achsenschnitt durch Einsetzen des Berührpunktes: $\sin(1) = \cos(1) \cdot 0 + t \Leftrightarrow t = \sin(1)$.
Geradengleichung: $y = \cos(1) \cdot x + \sin(1)$.
\end{enumerate}
}