\ANG{
Gegeben ist die über $\RR$ definierte Funktion $\mathrm{f:x \mapsto e^{sin(x)}}$ . 
Die folgende Abbildung zeigt einen Ausschnitt ihres Graphen $\mathrm{G_f}$.\\[1.5ex]
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1213KE02_2a.png}
\begin{enumerate}
\item Überprüfen Sie die Funktion auf Symmetrie und Periodizität.
\item Berechnen Sie Art und Lage aller Extrema im Intervall von $0$ bis $6{,}5$.
\item Geben Sie den Wertebereich von f an und begründen Sie seine Begrenztheit mit Hilfe 
      der Wertebereiche von $\mathrm{sin(x)}$ und $\mathrm{e^x}$.
\item Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an $\mathrm{G_f}$ bei $\mathrm{x=0}$.
\item Berechnen Sie die Wendestellen mit Hilfe der Substitution $\mathrm{u = sin(x)}$.
\end{enumerate}
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item Symmetrie: $\mathrm{f(-x) = e^{sin(-x)} = e^{-sin(x)} \Leftrightarrow f(-x) \ne f(x) \land f(-x) \ne -f(x) = -e^{sin(x)}}$, keine Symmetrie.\\
Periodizität: $\mathrm{f(x+k \cdot 2\pi) = e^{sin(x+k \cdot 2\pi)} = e^{sin(x)}$, also Periode $\mathrm{2\pi}$.
\item $\mathrm{f'(x) = e^{sin(x)} \cdot cos(x), \qquad f''(x) = e^{sin(x)} \cdot (cos x)^2 - e^{sin(x)} \cdot sin(x) = e^{sin(x)} \cdot \left( (cos x)^2 - sin(x) \right)}$.\\
$\mathrm{f'(x) = 0 \Leftrightarrow e^{sin(x)} \cdot cos(x) = 0 \Leftrightarrow cos(x) = 0 \Leftrightarrow x_k = k \cdot \pi + \frac {\pi} 2}$.\\
Im Intervall von 0 bis 6,5: $\mathrm{x_0 = \frac {\pi} 2}, x_1 = \frac 3 2 \pi}$.\\
Art des Extremums: $\mathrm{f''\left( \frac {\pi} 2\right) = -e }$, rechtsgekrümmt.
$\mathrm{f''\left( \frac 3 2 \cdot \pi \right) = \frac 1 e }$, linksgekrümmt.\\
HOP$\mathrm{\left( \frac {\pi} 2 | e^1 \right)}$, TIP$\mathrm{\left( \frac {3 \pi} 2 | e^{-1} \right)}$
\item Jedes x aus dem Definitionsbereich wird zuerst in die Sinusfunktion eingesetzt. Deren Werte schwanken nur zwischen 
$\mathrm{w=-1 \text{ und } w=1.}$
Da die natürliche Exponentialfunktion streng monoton steigt, ergibt sich der kleinste Funktionswert für $\mathrm{w=-1}$ und
der größte für $\mathrm{w=+1}$, die Funktionswerte von f schwanken also zwischen $\mathrm{e^{-1}=\frac 1 e}$ und $\mathrm{e^1 = e}$ .
\item $\mathrm{f'(0) = e^0 = 1, \qquad f(0) = 1 \Rightarrow y = 1x + 1}$.
\item $\mathrm{f''(x) = 0 \Leftrightarrow (cos x)^2 - sin(x) = 0 \Leftrightarrow \left(1 - (sin x)^2 \right) - sin(x) = 0}$\\
Substitution 
$\mathrm{u = sin(x)}$ ergibt $\mathrm{-u^2 - u + 1 = 0\Leftrightarrow u_{1/2} 
           = \frac {1 \pm \sqrt{1+4}}{-2} = -0,5 \pm \frac 1 2 \sqrt 5 \Leftrightarrow u \approx -1{,}62 \lor u \approx 0{,}62}$.\\
Rücksubstitution: $\mathrm{sin(x) = 0,62 \Leftrightarrow x_k \approx 0,67 + k \cdot 2 \pi \lor x_k \approx 2,47 + k \cdot 2 \pi}$.
\end{enumerate}
}