\ANG{
In einem Behälter befinden sich vier weiße und fünf schwarze Kugeln. Dazu wird ein 
Spiel angeboten. Der Spieler bezahlt zunächst einen Einsatz von 2 Euro; dieser Betrag 
wird neben dem Behälter ausgelegt. Anschließend muss der Spieler aus dem 
Behälter zweimal nacheinander eine Kugel zufällig ziehen und wieder zurücklegen. \\
Nach jedem der beiden Züge wird der ausliegende Betrag vom Spielleiter verdoppelt, 
wenn eine weiße Kugel gezogen wird, und sonst halbiert. Nach dem Spiel erhält 
der Spieler den dann ausliegenden Betrag. 
\begin{enumerate}
\item Der Term 
$8 \cdot \left(\frac  4 9 \right)^2 + 2 \cdot 2 \cdot \frac 4 9 \cdot \frac 5 9 + \frac 1 2 \cdot \left( \frac 5 9 \right)^2$  
gibt den Erwartungswert für den Betrag in 
Euro an, den der Spieler nach dem Spiel erhält. Geben Sie die Bedeutung des 
zweiten der drei Summanden im Sachzusammenhang an und erläutern Sie Ihre 
Angabe.
\item Ermitteln Sie, wie das Verhältnis der Anzahlen der weißen und schwarzen Kugeln 
im Behälter gewählt werden müsste, damit Spieler und Spielleiter die gleiche 
Gewinnerwartung haben. 
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2023, Teil B, grundlegendes Niveau, mit WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Der zweite Summand erfasst den Fall, dass eine weiße und eine schwarze Kugel 
gezogen werden; die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten betragen $\frac 4 9$ bzw. $\frac 5 9$. Dies 
ist in zwei verschiedenen Reihenfolgen möglich. Der Spieler erhält dafür nach dem 
Spiel jeweils 2 Euro. 
\item Die Wahrscheinlichkeit dafür, eine weiße Kugel zu ziehen, wird mit p bezeichnet.\\
$\mathrm{8 \cdot p^2 + 2 \cdot 2 \cdot p \cdot (1-p) + \frac 1 2 \cdot (1-p)^2 = \frac 9 2 p^2 + 3p + \frac 1 2}$\\
$\mathrm{\frac 9 2 p^2 + 3 p + \frac 1 2 = 2 \Leftrightarrow p^2 + \frac 6 9 p + \frac 1 9 = \frac 4 9 \Leftrightarrow p^2 + \frac 2 3p - \frac 1 3 = 0}$\\
$\mathrm{\Leftrightarrow p = - \frac 1 3 - \sqrt{\frac 1 9 + \frac 1 3 } = -1 \lor p = -\frac 1 3 + \sqrt{\frac 1 9 + \frac 1 3} = \frac 1 3}$\\
Die Anzahl der schwarzen Kugeln müsste doppelt so groß sein wie die der weißen. 
\end{enumerate}
}