\ANG{
Die Zufallsgröße X kann ausschließlich die Werte 1, 4, 9 und 16 annehmen. 
Bekannt sind $\mathrm{P\left( X=9\right) = 0{,}2}$ und $\mathrm{P\left( X=16\right) = 0{,}1}$
 sowie der Erwartungswert $\mathrm{E(X) = 5}$. Bestimmen Sie mithilfe eines Ansatzes für den Erwartungswert 
die Wahrscheinlichkeiten $\mathrm{P\left( X=1\right)}$ und $\mathrm{P\left( X=4\right)}$.
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2019, Teil A, erhöhtes Anforderungsniveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
Erwartungswert:\\
$\mathrm{5 = 1 \cdot P(X=1) + 4 \cdot P(X=4) + 9 \cdot 0{,}2 + 16 \cdot 0{,}1 \Leftrightarrow 5 = P(X=1) + 4 \cdot P(X=4) + 3{,}4 }$\\
$\mathrm{\Leftrightarrow 1{,}6 = P(X=1) + 4 \cdot P(X=4) (I)}$\\
Gesamtwahrscheinlichkeit:\\
$\mathrm{1 = P(X=1) + P(X=4) + 0{,}2 + 0{,}1 \Leftrightarrow 0{,}7 = P(X=1) + P(X=4) \Leftrightarrow P(X=4) = 0{,}7 - P(X=1) (II)}$ in (I):\\
$\mathrm{1{,}6 = P(X=1) + 4 \cdot \left( 0{,}7 - P(X=1)\right) \Leftrightarrow 1{,}6 = P(X=1) + 2{,}8 - 4 \, P(X=1) \Leftrightarrow 3 \, P(X=1) = 1{,}2 }$\\
$\mathrm{\Leftrightarrow P(X=1) = 0{,}4}$ in (II)\\
$\mathrm{P(X=4) = 0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}3}$
}