\ANG{
Ein Glücksrad besteht aus zwei unterschiedlich großen Sektoren. Der größere 
Sektor ist mit der Zahl 1 und der kleinere mit der Zahl 3 beschriftet. Die 
Wahrscheinlichkeit dafür, beim einmaligen Drehen des Glücksrads die Zahl 1 
zu erzielen, wird mit p bezeichnet. Das Glücksrad wird zweimal gedreht.
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Summe der beiden erzielten Zahlen 4 ist,
durch den Term $\mathrm{2p \cdot (1-p)}$ angegeben wird.
\item Die Zufallsgröße X beschreibt die Summe der beiden erzielten Zahlen. 
Bestimmen Sie, für welchen Wert von p die Zufallsgröße X den Erwartungswert 3 hat. 
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2020, Teil A, erhöhtes Anforderungsniveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Der Summenwert 4 wird genau dann erzielt, wenn beim zweiten Drehen nicht die gleiche Zahl erzielt wird wie beim ersten;
die zugehöriege Wahrscheinlichkeit ist damit gleich $\mathrm{p \cdot (1-p) + (1-p) \cdot p = 2 \, p \cdot (1-p)}$
\item $\mathrm{E(X) = 3 \Leftrightarrow 2 \cdot p^2+4 \cdot 2p \cdot (1-p) + 6 \cdot (1-p)^2 = 3}$\\
$\mathrm{\Leftrightarrow2p^2+8p-8p^2+6-12p+6p^2=3\Leftrightarrow p = \frac 3 4}$
\end{enumerate}
}