\ANG{
Ein Hersteller bringt ein neues Smartphone auf den Markt. Die Geräte werden in vier Werken in jeweils großer Stückzahl hergestellt. Der Tabelle 
können für jedes Werk folgende Daten entnommen werden:
\begin{itemize}
\item der Anteil der in diesem Werk hergestellten Geräte an der Gesamtzahl aller hergestellten Geräte;
\item der Anteil der fehlerhaften Geräte unter den in diesem Werk hergestellten Geräten.
\end{itemize}
\begin{tabular}{l|c|c|c|c}
Werk & A & B & C & D \\ \hline
Anteil an der Gesamtzahl & 10\% & 30\% & 20\% & 40\% \\ \hline
Anteil der fehlerhaften Geräte & 5\% & 3\% & 4\% & 2\% \\
\end{tabular}
\begin{enumerate}
\item Weisen Sie nach, dass der Anteil der fehlerhaften Geräte unter allen hergestellten Geräten 3\% beträgt.
\item  Ein unter allen hergestellten Geräten zufällig ausgewähltes Gerät ist fehlerhaft. 
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es im Werk A hergestellt wurde.
\item  Von im Werk A hergestellten Geräten werden 250 zufällig ausgewählt. Ermitteln Sie 
die Anzahl fehlerhafter Geräte, die darunter mit der größten Wahrscheinlichkeit 
auftritt.
\item  Geben Sie einen Wert von s an, für den mit dem Term $200\cdot 0{,}98^s\cdot 0{,}02+0{,}98^{200}$
im Sachzusammenhang die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses berechnet werden kann. Beschreiben Sie das zugehörige Ereignis.
\item Ermitteln Sie, wie viele im Werk C hergestellte Geräte mindestens zufällig ausgewählt werden müssen, damit sich darunter mit einer 
Wahrscheinlichkeit von mindestens 95 \% mindestens ein fehlerhaftes Gerät befindet.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2017, Teil B, grundlegendes Niveau, WTR)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item $0{,}1 \cdot 0{,}05+0{,}3\cdot 0{,}03+0{,}2 \cdot 0{,}04 + 0{,}4 \cdot 0{,}02 = 3 \%$
\item $\frac {0{,}1 \cdot 0{,}05}{0{,}03} = \frac 1 6$
\item X: Anzahl der fehlerhaften Geräte\\
Der Erwartungswert von X ist 250 \cdot 0{,}05 = 12{,}5$.\\
$P\left(X=12\right) \approx 11{,}6 \%, P\left(X=13\right) \approx 11{,}2 \% $ \\
Damit ist die gesuchte Anzahl 12.
\item s = 199 \\
Unter 200 im Werk D hergestellten zufällig ausgewählten Geräten ist höchstens eins fehlerhaft.
\item Ist n die Anzahl auszuwählender Geräte, so gilt:\\
$1-0{,}96^n \ge 0{,}95 \Leftrightarrow n \ge 74$
\end{enumerate}
}