\ANG{
\begin{minipage}{7cm}
Die Abbildung 1 zeigt das Netz eines Würfels. 
Der Würfel wird 30-mal geworfen. Die Zufallsgröße 
X gibt an, wie oft die Zahl ''4'' erzielt wird. 
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\phantom{...}
\end{minipage}
\begin{minipage}{7cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1220KE04_5a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass X binomialverteilt mit dem Parameter $\mathrm{p = \frac 1 3}$ ist.
\item  Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Zahl ''4'' häufiger erzielt wird
als die Zahl ''2''. 
\item Geben Sie im Sachzusammenhang ein Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit 
mit dem Term $\binom{29}{8} \cdot \left( \frac 1 3 \right)^8  \cdot \left( \frac 2 3 \right)^{21} \cdot \frac 1 3$  berechnet werden kann.
\item Bestimmen Sie den Erwartungswert für die Summe der erzielten Zahlen. 
\end{enumerate}
Zwei Personen werfen den Würfel abwechselnd so lange, bis eine Person mit einem 
Wurf eine andere Zahl erzielt als die andere Person beim unmittelbar vorhergehenden 
Wurf. Die Person, die dabei die größere Zahl erzielt hat, gewinnt das Spiel. 
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{4}
\item Begründen Sie, dass mit dem Term $1-\left( \frac 1 3 \right)^3 - \left( \frac 2 3 \right)^3$ die Wahrscheinlichkeit dafür 
berechnet werden kann, dass das Spiel spätestens mit dem dritten Wurf entschieden wird.
\item Eine der beiden Personen beginnt das Spiel. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit 
dafür, dass diese Person verliert und der Würfel höchstens viermal geworfen wird. 
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2017, Teil B, grundlegendes Niveau, WTR)
} \LSG {
\begin{enumerate}
\item Bei jedem Wurf gibt es nur zwei mögliche Ergebnisse. Dabei tritt das Ergebnis ''4''
mit der Wahrscheinlichkeit $\frac 1 3$ ein, da zwei der sechs Seiten des Würfels mit dieser 
Zahl beschriftet sind. Jeder Wurf ist unabhängig von den anderen Würfen. 
\item $\mathrm{P_{\frac 1 3}^{30} \left( X \ge 16\right) \approx 2 \%}$
\item Bei neun Würfen wird die ''4'' erzielt, unter anderen beim letzten Wurf. 
\item $\mathrm{E(X) = 10}$ \\
$10 \cdot 4 + \left( 30-10\right) \cdot 2 = 80$
\item $\left( \frac 1 3 \right)^3$ und $\left( \frac 2 3 \right)^3$  sind die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass dreimal nacheinander 
die ''4'' bzw. die ''2'' erzielt wird. In allen anderen Fällen ist das Spiel bereits spätestens 
mit dem dritten Wurf entschieden. 
\item $\frac 2 3 \cdot \frac 1 3 + \frac 1 3 \cdot \frac 1 3 \cdot \frac 2 3 + \frac 2 3 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 2 3 \cdot \frac 1 3 = \frac {32}{81}$

\end{enumerate}
}