\ANG{
Ein Glücksrad ist in 20 gleich große Sektoren unterteilt, die entweder blau oder 
gelb eingefärbt sind. Das Glücksrad wird 100-mal gedreht. Die binomial
verteilte Zufallsgröße X beschreibt, wie oft dabei die Farbe ''Blau'', die 
binomialverteilte Zufallsgröße Y, wie oft dabei die Farbe ''Gelb'' erzielt wird. \\

\begin{enumerate}
\item Begründen Sie, dass X und Y die gleiche Standardabweichung haben. 
\item Der Erwartungswert von X ist ganzzahlig. Die Abbildung zeigt Werte der 
Wahrscheinlichkeitsverteilung von X. \\
\includegraphics[width=0.67\linewidth]{12rr1220KE05_4a.png}
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2024, Teil A, erhöhtes Niveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Für binomialverteilte Zufallsgrößen gilt: $\mathrm{\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}$;\\
Wenn p die Wahrscheinlichkeit ist ''Blau'' zu erzielen, dann ist $\mathrm{\sigma_X = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)}}$\\
Dann ist 1-p die Wahrscheinlichkeit ''Gelb'' zu erzielen und somit \\
$\mathrm{\sigma_Y = \sqrt{n \cdot (1-p) \cdot (1-(1-p))} = \sqrt{n \cdot (1-p) \cdot p}}$;\\
\item Der Abbildung ist zu entnehmen, dass 75 der Erwartungswert von X ist. Wegen $\mathrm{\mu = n \cdot p}$ folgt $\mathrm{p = \frac 3 4}$ oder 15 von 20 Sektoren sind blau.
\end{enumerate}
}