\ANG{
Schwarze und weiße Kugeln sind wie folgt auf drei Urnen verteilt:\\[1.5ex]
\includegraphics[width=0.6\linewidth]{12rr1220KE02_12a.png}
\begin{enumerate}
\item Aus Urne A wird zunächst eine Kugel zufällig entnommen und in Urne B gelegt.
Anschließend wird aus Urne B ein Kugel zufällig entnommen und in Urne C gelegt.
Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich danach in Urne C zwei weiße Kugeln und eine schwarze
Kugel befinden.
\item Die drei Urnen mit den in der Abbildung dargestellten Inhalten bilden den Ausgangspunkt für folgendes Spiel:\\
Es wird zunächst ein Einsatz von 1 € eingezahlt. Anschließend wird eine der drei Urnen zufällig ausgewählt und danach aus dieser Urne
eine Kugel zufällig gezogen. Nur dann, wenn diese Kugel schwarz ist, wird ein bestimmter Geldbetrag ausgezahlt.\\
Ermitteln Sie, wie groß dieser Geldbetrag sein muss, damit bei diesem Spiel auf lange Sicht Einsätze und Auszahlungen ausgeglichen sind.
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2017, Teil A, erhöhtes Anforderungsniveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{\frac 1 2 \cdot \frac 1 2 + \frac 1 2 \cdot \frac 1 4 = \frac 1 4 + \frac 1 8 = \frac 3 8}$.
\item Wahrscheinlichkeitsverteilung:\\
$\mathrm{P('-1') = \frac 1 3 \cdot \left( \frac 1 2 + \frac 2 3 + 1\right) = \frac {13}{18}}$\\
$\mathrm{P('a-1') = \frac 1 3 \cdot \left( \frac 1 2 + \frac 1 3 + 0 \right) = \frac 5 {18}}$\\[1.5ex]
\begin{tabular}{c|c|c}
x & $-1$ & $a-1$ \\ \hline
P(X=x) & $\frac {13}{18}$ & $\frac 5 {18}$ \\
\end{tabular}\\[1.5ex]
$\mathrm{-\frac {13}{18} + \frac 5 {18} \left( a - 1 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac 5 {18} a - \frac {18}{18} = 0 \Leftrightarrow a = \frac{18} 5 = 3{,}6}$\\
Bei einer Auszahlung von 3,6€ für die schwarze Kugel ergibt sich ein faires Spiel.
\end{enumerate}
}