\ANG{
Gegeben ist die Funktion f mit $f(x) = 3 - \sqrt{9-\D\frac {x^2} 4}$ auf ihrem maximalen Definitionsbereich $D_{max}$.
\begin{enumerate}
\item Weisen Sie nach, dass f achsensymmetrisch ist.
\item Ermitteln Sie $D_{max}$.
\item Berechnen Sie einen Term der ersten Ableitungsfunktion $f'(x)$ und mit deren Hilfe das Monotonieverhalten von f und die Art und Lage des Extrempunktes.
\item Geben Sie den Wertebereich von f an.
\item Dargestellt sind drei Graphen, wovon nur einer zur Funktion f passt. Ordnen Sie diesen begründet zu.\\
\includegraphics[width=0.75\linewidth]{12rr1242KE03_1a.png}
\item Die Gerade $x = 3$ hat eine besondere Bedeutung für den Graphen $G_f$ von f. Zeichnen Sie die Gerade in die entsprechende Abbildung ein und geben Sie die Bedeutung der Geraden an. Geben Sie außerdem die Koordinaten des Schnittpunktes der Geraden mit $G_f$ an.
\item Für $x \in I = \left[0;3\right[$ gibt die Funktion f modellhaft die Eindringtiefe d einer Kugel mit Radius 3 in einer Spalte mit der Breite x an. Beschreiben Sie die Bedeutung der Grenzen des Intervalls I im Sachzusammenhang.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $f(-x) = 3 - \sqrt{9-\D\frac {(-x)^2} 4} = 3 - \sqrt{9-\D\frac {x^2} 4} =f(x)$
\item Betrachtet man das Argument der Wurzel: $a(x) = 9 - \D\frac {x^2} 4$\\
Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit den Nullstellen:\\
$9 - \D\frac {x^2} 4 = 0 \Leftrightarrow 9 = \D\frac{x^2} 4 \Leftrightarrow 36 = x^2 \Leftrightarrow x=-6 \lor x = 6$ \\
$a(x)$ ist also im Intervall $[-6;+6]$ nicht negativ: $D_{max} = [-6;+6]$.
\item $f'(x) = -\D\frac {-\D\frac{2x} 4}{2 \cdot \sqrt{9-\D\frac{x^2} 4}}=\D\frac{x}{4 \cdot \sqrt{9-\D\frac{x^2} 4}}$ auf $D_{f'} = \left]-6;+6\right[$\\
$f'(x) = 0\Leftrightarrow x = 0$\\
\begin{tabular}{c|c|c|c}
 & $-6 \le x < 0$ & $x=0$ & $0 < x \le +6$ \\ \hline
$f'(x)$ & - & 0 & + \\ \hline
$G_f$ & $\searrow$ &TIP& $\nearrow$
\end{tabular} \\
Die Koordinaten des Tiefpunktes sind TIP$(0;0)$.
\item Da die Funktion achsensymmetrisch ist, reicht eine Betrachtung für $x \ge 0$: \\
In diesem Intervall ist f streng monoton steigend. Daher ist der minimale Wert bei $x=0$ und der maximale Wert bei $x=+6$. Also $W = [0;3]$.
\item Aufgrund des Wertebereichs kann $G_A$ sofort ausgeschlossen werden. Zur Unterscheidung von $G_B$ und $G_C$ kann man den Wert von $f'$ an der Stelle $\pm 3$ heranziehen, denn dort ist $f'$ nicht definiert, was $G_C$ widerspricht. $G_B$ ist also der passende Graph.
\item Die Gerade ist eine senkrechte Tangente an dem Graphen im Punkt $(+6;+3)$
\item Die untere Grenze $x = 0$ beschreibt eine Spalte mit der Breite 0 und führt somit zu einer Eindringtiefe 0. Die obere Grenze $x=+6$ kann vom mathematischen Modell gerade nicht mehr beschrieben werden, denn dann würde die Kugel als Ganzes genau in die Spalte hineinpassen.
\end{enumerate}

}