\ANG{
Zeigen Sie, dass $\mathrm{F:x \mapsto \frac 1 4 \, x^2 \cdot \left( 2 \, ln(x) - 1 \right)}$
mit Definitionsmenge $\mathrm{\RR^+}$ eine Stammfunktion der in $\mathrm{\RR^+}$ definierten
Funktion $\mathrm{f: x \mapsto x \cdot ln(x)}$ ist.\\
Bestimmen Sie einen Term derjenigen Stammfunktion von f, die in $\mathrm{x = 1}$ eine
 Nullstelle hat. 
(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2011, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
$\mathrm{F'(x) = \frac 1 2 \, x \cdot (2 \, ln(x)-1) + \frac 1 4 \, x^2 \cdot \frac 2 x = x \cdot ln(x) - \frac 1 2 \, x + \frac 1 2 \, x = x \cdot ln(x) \checkmark}$\\
$\mathrm{F_c(x) = \frac 1 4 \, x^2 \cdot \left( 2 \, ln(x) - 1 \right) + C}$\\
$\mathrm{0 = \frac 1 4 \cdot 1^2 \cdot \left( 2 \, ln(1) - 1 \right) + C \Leftrightarrow 0 = \frac 1 4 \cdot (-1) + C \Leftrightarrow C = +\frac 1 4}$
}