\ANG{
Gegeben ist die Funktion $\mathrm{f:x \mapsto \D\frac x {ln(x)} }$. Mit der Definitionsmenge $\mathrm{\RR^+ \setminus \lbrace 1 \rbrace}$.
Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts des Graphen von f.
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2014, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
$\mathrm{f'(x) = \D\frac {ln(x) - x \cdot \frac 1 x}{\left(ln(x)\right)^2} = \frac {ln(x) - 1}{\left(ln(x)\right)^2}}$\\
$\mathrm{f'(x) = 0 \Leftrightarrow ln(x) - 1 = 0 \Leftrightarrow ln(x) = 1 \Leftrightarrow x = e}$ einzige Nullstelle auf D\\
$\mathrm{f(e) = \D\frac e {ln(e)} = e}$\\
$\mathrm{f'(2) = \D\frac {ln 2 - 1}{\left( ln 2 \right)^2} \approx -0{,}64; \quad f'(3) \approx 0{,}08; }$ Vorzeichenwechsel von - nach +. Es handelt es sich also um ein Minimum.
}