\ANG{
Gegeben ist die Funktion $\mathrm{f:x \mapsto \D\frac{ln(x)}{x^2}}$ mit maximalem Definitionsbereich D.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie D sowie die Nullstelle von f an und bestimmen Sie $\mathrm{\lim\limits_{x \to 0} f(x)}$.
\item Ermitteln Sie die x-Koordinate des Punkts, in dem der Graph von f eine waagrechte Tangente hat.
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2016, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{D = ]0;\infty[}$\\
$\mathrm{\lim\limits_{x \to 0} \frac {ln(x)}{x^2} = \lim\limits_{x \to 0} \underbrace{ln(x)}_{\to -\infty} \cdot \underbrace{\frac 1 {x^2}}_{\to \infty} = -\infty}$
\item $\mathrm{f'(x) = \D\frac {\frac 1 x \cdot x^2 - ln(x) \cdot 2 x}{x^4} = \D\frac{x- 2x ln(x)}{x^4} = \frac{1 - 2 ln(x)}{x^3}}$
\item $\mathrm{f'(x) = 0 \Leftrightarrow 1 - 2 ln(x) = 0 \Leftrightarrow 1 = 2 ln(x) \Leftrightarrow ln(x) = \frac 1 2 \Leftrightarrow x = e^{\frac 1 2}}$\\
Der Graph hat an der Stelle $\mathrm{x = e^0,5}$ eine waagrechte Tangente.
\end{enumerate}
}