\ANG{
Gegeben ist die Funktion $\mathrm{h:x \mapsto x \cdot ln \left( x^2\right)}$ mit maximalem Definitionsbereich $\mathrm{D_h}$.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie $\mathrm{D_h}$ an und zeigen Sie, dass für den Term der Ableitungsfunktion $\mathrm{h'}$ von h gilt: $\mathrm{h'(x) = ln(x^2)+2}$.
\item Bestimmen Sie die Koordinaten des im II. Quadranten liegenden Hochpunkts des Graphen von h.
\end{enumerate}
\\[1.5ex](Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2020, Teil A, erhöhtes Anforderungsniveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\mathrm{D_h = \RR \setminus \lbrace 0 \rbrace }$\\
$\mathrm{h'(x) = ln(x^2)+x \cdot \frac 1 {x^2} \cdot 2x = ln(x^2)+2}$
\item Für $\mathrm{x < 0}$ gilt: $\mathrm{h'(x) = 0 \Leftrightarrow ln(x^2) = -2 \Leftrightarrow x^2 = e^{-2} \Leftrightarrow x = -\frac 1 e}$\\
$\mathrm{h\left( -\frac 1 e\right) = -\frac 1 e \cdot ln\left( e^{-2}\right) = \frac 2 e}$\\
Damit: $\mathrm{\left( -\frac 1 e|\frac 2 e\right)}$
\end{enumerate}
}