\ANG{
\begin{minipage}{13cm}
Die Vektoren $\overrightarrow{\mathrm{a}} = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 2 \end{array}\right)$, 
$\overrightarrow{\mathrm{b}} = \left(\begin{array}{c} -1 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right)$ und
$\overrightarrow{\mathrm{c_t}} = \left(\mathrm{\begin{array}{c} 4 t \\ 2 t \\ -5 t \end{array}}\right)$
spannen für jeden Wert von t mit $\mathrm{t \in \RR \setminus \lbrace 0 \rbrace }$ einen Körper auf.
Die Abbildung zeigt den Sachverhalt beispielhaft für einen Wert von t.
\begin{enumerate}
\item Zeigen Sie, dass die aufgespannten Körper Quader sind.
\item Bestimmen Sie diejenigen Werte von t, für die der jeweils zugehörige 
Quader das Volumen 15 besitzt.
\end{enumerate}
\end{minipage}\phantom{xxx}
\begin{minipage}{1cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{3.5cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1250KE01_4a.png}
\end{minipage}\\[1.5ex]
(Quelle: Text und Aufgabe ISB. Abitur 2014, Teil A, erhöhtes Niveau, keine Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{\mathrm{a}} \circ \overrightarrow{\mathrm{b}} = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 + 2  \cdot 0 = 0$\\
$\overrightarrow{\mathrm{a}} \circ \overrightarrow{\mathrm{c_t}} = 2 \cdot 4t + 1 \cdot 2 t + 2  \cdot (-5 t) = 10t - 10t = 0$\\
$\overrightarrow{\mathrm{b}} \circ \overrightarrow{\mathrm{c_t}} = (-1) \cdot 4t + 2 \cdot 2 t + 0  \cdot (-5 t) = -4t + 4t = 0$\\
Alle Kanten des Körpers stehen zueinander im rechten Winkel. Damit: der Körper ist ein Quader.
\item $\mathrm{V} = \left| \overrightarrow{\mathrm{a}}\right| \cdot \left| \overrightarrow{\mathrm{b}}\right| \cdot \left| \overline{\mathrm{c_t}}\right| = 3 \cdot \sqrt 5 \cdot 3 \cdot \sqrt 5 \left| t \right| = 45 \left|t \right|$\\
$\mathrm{45 \left| t \right| = 15 \Leftrightarrow t = \frac 1 3 \lor t = -\frac 1 3}$
\end{enumerate}
}