\ANG{
Gegeben sind die beiden bezüglich der $\mathrm{x_1x_3}$-Ebene symmetrisch liegenden Punkte A$\mathrm{(2|3|1)}$ und B$\mathrm{(2|-3|1)}$
sowie der Punkt C$\mathrm{(0|2|0)}$.
\begin{enumerate}
\item Weisen Sie nach, dass das Dreieck ABC bei C rechtwinklig ist.
\item Geben Sie die Koordinaten eines weiteren Punkts D der $\mathrm{x_2}$-Achse an,
so dass das Dreieck ABD bei D rechtwinklig ist. Begründen Sie Ihre Antwort.
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe ISB Abitur 2017, Teil A, erhöhtes Anforderungsniveau, ohne Hilfsmittel)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\overrightarrow{\mathrm{AC}} = \begin{pmatrix}-2\\-1\\-1\end{pmatrix}$; $\overrightarrow{\mathrm{BC}}=\begin{pmatrix}-2\\5\\-1\end{pmatrix}$\\
$\overrightarrow{\mathrm{AC}} \circ \overrightarrow{\mathrm{BC}} = 4-5+1 = 0 \Rightarrow \overrightarrow{\mathrm{AC}} \perp \overrightarrow{\mathrm{BC}}$\\
Das Dreieck ABC ist bei C rechtwinklig.
\item Da A und B bezüglich der $\mathrm{x_1x_3}$-Ebene symmetrisch liegen, lässt sich mit dem zu C symmetrisch liegenden Punkt D ebenfalls ein rechtwinkliges
Dreieck erzeugen, welches dann bezüglich der $\mathrm{x_1x_3}$-Ebene symmetrisch zu Dreieck ABC liegt. Somit hat D die Koordinaten $\mathrm{(0|-2|0)}$.
\end{enumerate}
}