\ANG{
\begin{minipage}{11cm}
Die abgebildete Pagode, Zeichen ostasiatischer Architektur, steht im Hamburger Tierpark Hagenbeck. Jede der drei
Dachetagen besteht aus vier Dachflächen gleicher Form
und Größe. Die Dachflächen der mittleren und oberen Etage sind jeweils parallel zu einer Dachfläche der unteren
Etage.\\
In einem kartesischen Koordinatensystem können die
Dachflächen der unteren Etage modellhaft als Vierecke
dargestellt werden. Die Punkte $\mathrm{A_1(5{,}5|-5{,}5|6)}$,
$\mathrm{B_1(5{,}5|5{,}5|6)}$, $\mathrm{C_1(-5{,}5|5{,}5|6)}$, $\mathrm{D_1(-5{,}5|-5{,}5|6)}$,
$\mathrm{A_2(2|-2|8{,}1)}$, $\mathrm{B_2(2|2|8{,}1)}$, $\mathrm{C_2(-2|2|8{,}1)}$ und $\mathrm{D_2(-2|-2|8{,}1)}$
sind die Eckpunkte dieser vier Vierecke. Dabei beschreibt die xy-Ebene
die Horizontale; eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der
Wirklichkeit.
\end{minipage}
\begin{minipage}{1cm}
\end{minipage}
\begin{minipage}{5cm}
\includegraphics[width=1.0\linewidth]{12rr1250KE05_3a.png}
\end{minipage}
\begin{enumerate}
\item Zeichnen Sie in das abgebildete Koordinatensystem für die untere Dachetage die
fehlenden Eckpunkte sowie die Strecken ein, die die Kanten der Dachflächen darstellen.\\[2ex]
\includegraphics[width=.67\linewidth]{12rr1250KE05_3b.png}
\item Zeigen Sie rechnerisch, dass das Viereck $\mathrm{A_1B_1B_2A_2}$ ein Trapez ist, 
in dem zwei gegenüberliegende Seiten gleich lang sind. Begründen Sie, dass es sich nicht um ein 
Parallelogramm handelt.
\item Geben Sie die Koordinaten der Mittelpunkte $\mathrm{M_1}$ und $\mathrm{M_2}$ der Seiten $\mathrm{A_1B_1}$ bzw. $\mathrm{A_2B_2}$
an. Berechnen Sie den gesamten Inhalt der Dachflächen der unteren Etage in Quadratmetern.
\item Die Strecke $\overline{\mathrm{A_1A_2}}$ ist Teil einer Geraden g. Bestimmen Sie die Koordinaten des
Schnittpunkts von g mit der z-Achse.
\end{enumerate}
Das Viereck $\mathrm{A_1B_1B_2A_2}$ liegt in der Ebene $\mathrm{E : 3x+5z=46{,}5}$ und stellt die untere der drei 
Dachflächen auf der Südseite der Pagode dar.
\begin{enumerate}\addtocounter{enumi}{4}
\item Berechnen Sie die Größe des Neigungswinkels dieser Dachfläche gegenüber der 
Horizontalen
\item Auch die beiden Dachflächen der mittleren und oberen Etage auf der Südseite der 
Pagode können im Modell jeweils durch ein Viereck dargestellt werden. Die Ebenen, 
in denen diese beiden Vierecke liegen, werden durch zwei der folgenden Gleichungen 
beschrieben. Ordnen Sie die beiden Dachflächen jeweils einer Gleichung zu und begründen Sie Ihre Zuordnung
\begin{tabular}{llllll}
I & 3x + 8z= 46,5 & II & 3x + 5z = 24,5 & III & 3x + 5z = 58 \\
IV &  3x + 10z = 46,5 & V & 3x + 5z = 35 & VI & 3x + 5z = 68,5
\end{tabular}
\end{enumerate}
(Quelle: Text und Aufgabe IQB. Aufgabenpool (Abitur) 2017, Teil B, grundlegendes Niveau, WTR)
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Ergänzte Abbildung:\\
\includegraphics[width=.67\linewidth]{12rr1250KE05_3c.png}
\item $\overrightarrow{\mathrm{A_1B_1}}$ und $\overrightarrow{\mathrm{A_2B_2}}$ sind kollinear und es gilt $\left|\overrightarrow{\mathrm{A_A_2}}\right|=\left|\overrightarrow{\mathrm{B_1B_2}}\right|$.
Da $\left|\overrightarrow{\mathrm{A_1B_1}}\right| \ne \left|\overrightarrow{\mathrm{A_2B_2}}\right|$, ist $\mathrm{A_1B_1B_2A_2}$ kein Parallelogramm.
\item $\mathrm{M_1(5{,}5|0|6)}, \mathrm{M_2(2|0|8{,}1)}$\\
$\frac 1 2 \left( \left| \overrightarrow{\mathrm{A_1B_1}}\right| + \left| \overrightarrow{\mathrm{A_2B_2}}\right| \right) \cdot \left| \overrightarrow{\mathrm{M_1M_2}}\right| \approx 30{,}6$\\
Der gesamte Inhalt der Dachflächen der unteren Etage beträgt etwa 122 $\mathrm{m}^2$.
\item $\mathrm{g}: \vec x = \begin{pmatrix}5{,}5\\-5{,}5\\6\end{pmatrix} + \lambda \cdot \begin{pmatrix}-3{,}5\\3{,}5\\2{,}1\end{pmatrix}, \lambda \in \RR$\\
$5{,}5-3{,}5 \lambda = 0 \Leftrightarrow \lambda = \frac {11} 7; 6 + 2{,}1 \cdot \frac {11} 7 = 9{,}3$\\
Also: $(0|0|9{,}3)$
\item Mit $\vec m = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ und $\vec n = \begin{pmatrix}3\\0\\5\end{pmatrix} ergibt sich: 
$\cos \varphi = \frac {\vec m \circ \vec n}{\left| \vec m \right| \cdot \left| \vec n \right|}$, d. h. $\varphi = 31^o$.
\item Zuordnung: \\
III: Dachfläche der mittleren Etage\\
VI: Dachfläche der oberen Etage\\
Die drei Dachflächen auf der Südseite der Pagode sind parallel zueinander. Die Normalenvektoren der Ebenen, in denen im Modell die drei zugehörigen Vierecke liegen, 
sind deshalb kollinear. Damit kommen nur die Gleichungen II, III, V und VI infrage.\\
Betrachtet man für die drei Vierecke zur unteren, mittleren und oberen Dachfläche
jeweils einen Punkt mit der gleichen x-Koordinate und den z-Koordinaten $\mathrm{z_1}$, $\mathrm{z_2}$ bzw.
$\mathrm{z_3}$, so gilt $\mathrm{z_1<z_2<z_3}$ und damit $\mathrm{3x+5z_1<3x+5z_2<3x+5z_3}$.
\end{enumerate}
}