\ANG{
Berechne die Ableitungen folgender Funktionsterme:
\begin{enumerate}
\item $\D g(x)=\e^{-x}$\qquad
(b)\quad $\D h(x)=\e^{x^{2}}$\qquad
(c)\quad $\D k(x)=\e^{-x^{2}}$\qquad
(d)\quad $\D f(x)=5x\e^{-x^{2}}$
\item[(e)] Untersuche $f$ auf Nullstellen, Symmetrie, relative Extrema und
  Wendepunkte. Zeichne den Grafen von $f$ im $x$-Intervall $[-3,3]$.\\[2mm]
Es darf, ohne nachzurechnen, 
$\D f'''(x)=-10\left(4x^{4}-12x^{2}+3\right)\e^{-x^{2}}$ verwendet werden.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\D g'(x)=-\e^{-x}$\qquad
(b)\quad $\D h'(x)=2x\e^{x^{2}}$\qquad
(c)\quad $\D k(x)=-2x\e^{-x^{2}}$
\item[(d)] $\D f'(x)=5\e^{-x^{2}}-10x^{2}\e^{-x^{2}}=
 5\left(1-2x^{2}\right)\e^{-x^{2}}$
\item Nullstelle: $x_{0}=0$\\[2mm]
$\D f(-x)=-5x\e^{-(-x)^{2}}=-5x\e^{-x^{2}}=-f(x)\QDQ$ Punktsymmetrie zum
Ursprung\\[2mm]
$\D f'(x)=0\QDQ 1-2x^{2}=0\QDQ x_{11}=-\frac12\sqrt{2},\quad 
x_{12}=\frac12\sqrt{2}$\\[2mm]
$\D f''(x)=-10x\e^{-x^{2}}-20x\e^{-x^{2}}+20x^{3}\e^{-x^{2}}=
10x\left(2x^{2}-3\right)\e^{-x^{2}}$\\[2mm]
$\D f''(x_{12})=-10\sqrt{2}\e^{-\frac 12}<0\QDQ$rel. Max. bei
$\left(\frac 12\sqrt{2}\,\vline\,\frac 52\sqrt{2}\e^{-\frac 12}\right)
\approx(0{,}71\,|\,2{,}14)$\\[2mm]
Symmetrie $\DANN$ rel. Min. bei
$\left(-\frac 12\sqrt{2}\,\vline\,-\frac 52\sqrt{2}\e^{-\frac 12}\right)
\approx(-0{,}71\,|\,-2{,}14)$\\[2mm]
$\D f''(x)=0\QDQ 2x^{2}-3=0\QDQ x_{21}=-\frac12\sqrt{6},\quad 
x_{22}=\frac12\sqrt{6},\quad x_{23}=0$\\[2mm]
$\D f'''(x_{22})=60\e^{-\frac 32}\neq 0$, $f'''(0)=-30\neq 0$ und Symmetrie
$\DANN$\\[2mm]
Wendepunkte bei 
$\left(\pm\frac 12\sqrt{6}\,\,\vline\,\pm\frac 52\sqrt{6}\e^{-\frac 32}\right)
\approx(\pm 1{,}22\,|\,\pm 1{,}37)$ und $(0\,|\,0)$.\\[2mm]
\EPSC{12rr0331}{10cm}{}{
\PSFM{-3}{$-3$} \PSFM{-2}{$-2$} \PSFM{-1}{$-1$} \PSFM{1}{1} 
\PSFM{2}{2} \PSFM{3}{3} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
}
\end{enumerate}
}
