\ANG{
\EPSR{6cm}{12rr0391}{7.5cm}{}{
\PSFM{M}{M} \PSFM{P1}{P$_{1}$} \PSFM{P2}{P$_{2}$} \PSFM{x1}{$x_{1}$} 
\PSFM{x2}{$x_{2}$} \PSFM{fi1}{$\varphi_{1}$} \PSFM{fi2}{$\varphi_{2}$} 
\PSFM{dfi}{$\Delta\varphi$} \PSFM{x}{$x$} 
\PSFM{y}{$y$} \PSFM{f}{$f$} \PSFM{R}{$R$} 
\PSFM{FS}{\fbox{\parbox[t]{4cm}{$\D
\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}
$}}} 
\PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{} \PSFM{}{} 
}{
{\bfseries Kr"ummung}\\[2mm]
$\text{P}_{1}(x_{1}\,|\,f(x_{1}))$ und $\text{P}_{2}(x_{2}\,|\,f(x_{2}))$ mit 
$x_{2}=x_{1}+\Delta x$ sind zwei benachbarte Punkte auf dem Grafen von
$f$. Die Normalen auf G$_{f}$ in P$_{1}$ und P$_{2}$ schneiden sich in M.
Wenn P$_{2}$ immer n"aher zu P$_{1}$ wandert, gilt
\[\overline{\text{MP}}_{2}\approx \overline{\text{MP}}_{1}=:R\]
und wegen \GF{$\Delta\varphi$ sehr klein}:
\[\Delta\varphi\approx\tan\Delta\varphi\approx\frac{\Delta s}{R}\]
mit $\D\Delta s=\overline{\text{P}_{1}\text{P}}_{2}=\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}$.
}
\begin{enumerate}
\item Beweise unter Verwendung der angegebenen trigonometrischen Formel:
\[R(x)=\frac{\left[1+f'(x)^{2}\right]^{\frac 32}}{|f''(x)|}\]
$R(x)$ hei"st {\em Kr"ummungsradius} von $f$ an der Stelle $x$. 
$R(x)$ ist der Radius eines Kreises, der G$_{f}$ in einer kleinen Umgebung
von $x$ am besten ann"ahert. 
Als 
{\em Kr"ummung} von $f$ an der Stelle $x$ definiert man
\[\boxed{k(x)=\frac{f''(x)}{\left[1+f'(x)^{2}\right]^{\frac 32}}}\]
Welche Beziehung besteht zwischen $R(x)$ und $k(x)$?
\item \EPSR{8.5cm}{12rr0392}{5cm}{}{
\PSFM{a}{$a$} \PSFM{fi}{$\lambda$} \PSFM{R}{$R$} 
}{
Die Bedeutung der Kr"ummung kann man sich wie folgt veranschaulichen:
Ein Dreirad, dessen Achsabstand $a$ so klein ist, dass sich die Kr"ummung $k$
von $f$ zwischen Vorderrad und Hinterr"adern kaum "andert, f"ahrt entlang des
Grafen von $f$. Wie h"angt die Kr"ummung $k(x)$ mit dem Lenkwinkel $\lambda$ zusammen, 
wenn $\lambda<0$ Ausschlag nach rechts und $\lambda>0$ Ausschlag nach links bedeutet?
}
\item Ein Auto mit dem Achsabstand $a=4$ f"ahrt langsam durch eine S-Kurve mit der Gleichung
\[f(x)=10\sin\left(\frac{\pi}{30}\cdot x\right)\quad\text{mit}\quad 0\leqq x\leqq 60\]
(die Zahlenwerte f"ur $a$, $x$ und $f(x)$ verstehen sich in Metern). Zeichne die Grafen von 
$f(x)$ und $\lambda(x)$.
\end{enumerate}

} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Mit $x_1=x$, $x_2=x+\Delta x$, $\tan\varphi=f'(x)$ und 
$\tan(\varphi+\Delta\varphi)=f'(x+\Delta x)$ folgt ($\Delta\varphi$ kann auch negativ sein, 
$R$ aber muss positiv sein):
\begin{align*}
R(x)&=\lim_{\Delta\varphi\to 0}\frac{\Delta s}{|\tan\Delta\varphi|}=
\lim_{\Delta x\to 0}\left|\frac{\sqrt{\Delta x^{2}+\Delta y^{2}}}
{\tan(\varphi+\Delta\varphi-\varphi)}\right|=\\
&=\lim_{\Delta x\to 0}\left|\frac{\Delta x\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}
(1+\tan\varphi\tan(\varphi+\Delta\varphi))}
{\tan(\varphi+\Delta\varphi)-\tan\varphi}\right|=\\
&=\lim_{\Delta x\to 0}\left|\frac{\sqrt{1+\left(\frac{\Delta y}{\Delta x}\right)^{2}}
(1+f'(x)f'(x+\Delta x))}{\frac{f'(x+\Delta x)-f'(x)}{\Delta x}}\right|=\\
&=\left|\frac{\sqrt{1+f'(x)^{2}}(1+f'(x)^2)}{f''(x)}\right|=
\frac{[1+f'(x)^2]^{\frac 32}}{\left|f''(x)\right|}
\end{align*}
\[R(x)=\frac 1{|k(x)|}\]
\item Zun"achst einmal gilt f"ur den Betrag von $\lambda$
\[\sin|\lambda|=\frac{a}{R(x)}=a\cdot|k(x)|\]
$\lambda<0$ bedeutet Rechtskurve, d.h. $f''(x)<0$ und umgekehrt; das Vorzeichen von
$\lambda$ ist also gleich dem Vorzeichen von $f''(x)$ und damit auch dem von $k(x)$:
\[\sin\lambda=a\cdot k(x)\]
\item Die Periodenl"ange von $f$ ist $\D p=\frac{2\pi}{\frac{\pi}{30}}=60$.
\EPSC{12rr0394}{12cm}{}{
\PSFM{1}{} \PSFM{2}{} \PSFM{3}{} \PSFM{4}{} \PSFM{5}{5} 
\PSFM{6}{} \PSFM{7}{} \PSFM{8}{} \PSFM{9}{} \PSFM{10}{10}
\PSFM{11}{} \PSFM{12}{} \PSFM{13}{} \PSFM{14}{} \PSFM{15}{15} 
\PSFM{16}{} \PSFM{17}{} \PSFM{18}{} \PSFM{19}{} \PSFM{20}{20}
\PSFM{21}{} \PSFM{22}{} \PSFM{23}{} \PSFM{24}{} \PSFM{25}{25} 
\PSFM{26}{} \PSFM{27}{} \PSFM{28}{} \PSFM{29}{} \PSFM{30}{30}
\PSFM{31}{} \PSFM{32}{} \PSFM{33}{} \PSFM{34}{} \PSFM{35}{35} 
\PSFM{36}{} \PSFM{37}{} \PSFM{38}{} \PSFM{39}{} \PSFM{40}{40}
\PSFM{41}{} \PSFM{42}{} \PSFM{43}{} \PSFM{44}{} \PSFM{45}{45} 
\PSFM{46}{} \PSFM{47}{} \PSFM{48}{} \PSFM{49}{} \PSFM{50}{50}
\PSFM{51}{} \PSFM{52}{} \PSFM{53}{} \PSFM{54}{} \PSFM{55}{55} 
\PSFM{56}{} \PSFM{57}{} \PSFM{58}{} \PSFM{59}{} \PSFM{60}{60}
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$} 
\PSFM{-1}{} \PSFM{-2}{} \PSFM{-3}{} \PSFM{-4}{} \PSFM{-5}{$-5$} 
\PSFM{-6}{} \PSFM{-7}{} \PSFM{-8}{} \PSFM{-9}{} \PSFM{-10}{$-10$}
}
Mit $\D f'(x)=\frac{\pi}{3}\cos\left(\frac{\pi}{30}\cdot x\right)$ und
$\D f''(x)=-\frac{\pi^2}{90}\sin\left(\frac{\pi}{30}\cdot x\right)$ folgt
\[\lambda(x)=a\cdot k(x)=\frac{-2\pi^2\sin\left(\frac{\pi}{30}\cdot x\right)}
{45\left[1+\frac{\pi^2}{9}\cos^2\left(\frac{\pi}{30}\cdot x\right)\right]^{\frac 32}}\]
Maximaler Lenkwinkel: $\lambda_{\text{max}}=\lambda(45)\approx 26{,}0^\circ$
\EPSC{12rr0393}{12cm}{}{
\PSFM{1}{} \PSFM{2}{} \PSFM{3}{} \PSFM{4}{} \PSFM{5}{5} 
\PSFM{6}{} \PSFM{7}{} \PSFM{8}{} \PSFM{9}{} \PSFM{10}{10}
\PSFM{11}{} \PSFM{12}{} \PSFM{13}{} \PSFM{14}{} \PSFM{15}{15} 
\PSFM{16}{} \PSFM{17}{} \PSFM{18}{} \PSFM{19}{} \PSFM{20}{20}
\PSFM{21}{} \PSFM{22}{} \PSFM{23}{} \PSFM{24}{} \PSFM{25}{25} 
\PSFM{26}{} \PSFM{27}{} \PSFM{28}{} \PSFM{29}{} \PSFM{30}{30}
\PSFM{31}{} \PSFM{32}{} \PSFM{33}{} \PSFM{34}{} \PSFM{35}{35} 
\PSFM{36}{} \PSFM{37}{} \PSFM{38}{} \PSFM{39}{} \PSFM{40}{40}
\PSFM{41}{} \PSFM{42}{} \PSFM{43}{} \PSFM{44}{} \PSFM{45}{45} 
\PSFM{46}{} \PSFM{47}{} \PSFM{48}{} \PSFM{49}{} \PSFM{50}{50}
\PSFM{51}{} \PSFM{52}{} \PSFM{53}{} \PSFM{54}{} \PSFM{55}{55} 
\PSFM{56}{} \PSFM{57}{} \PSFM{58}{} \PSFM{59}{} \PSFM{60}{60}
\PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$\lambda$} 
\PSFM{-1}{} \PSFM{-2}{} \PSFM{-3}{} \PSFM{-4}{} \PSFM{-5}{$-5$} 
\PSFM{-6}{} \PSFM{-7}{} \PSFM{-8}{} \PSFM{-9}{} \PSFM{-10}{$-10$}
\PSFM{-11}{} \PSFM{-12}{} \PSFM{-13}{} \PSFM{-14}{} \PSFM{-15}{$-15$} 
\PSFM{-16}{} \PSFM{-17}{} \PSFM{-18}{} \PSFM{-19}{} \PSFM{-20}{$-20$}
\PSFM{-21}{} \PSFM{-22}{} \PSFM{-23}{} \PSFM{-24}{} \PSFM{-25}{$-25$} 
\PSFM{-26}{} \PSFM{-27}{} \PSFM{-28}{} \PSFM{-29}{} \PSFM{-30}{$-30$}
}
\end{enumerate}
}
