\ANG{
Im Eisenbahnbau werden im Flachland f"ur die Bahnstrecke normalerweise
Kr"um-mungsradien von $1000\,$m oder mehr genommen. Dar"uberhinaus wird die
Bahnstrecke so gew"ahlt, dass an der "Ubergangsstelle kein Knick entsteht,
die Kr"ummung stetig ist und sich proportional zum zur"uckgelegten Weg "andert.\\
Bestimmen sie den "Ubergangsbogen der L"ange $200\,$m einer geradlinigen Bahnlinie
zu einem Kreisbogen mit Radius $1000\,$m. Verwenden sie dazu als N"aherung Polynome. Als
L"ange der Kurve darf n"aherungsweise die $x$-Koordinate verwendet werden.\\[2mm]
Hinweis:\\
Die Kr"ummung $k(x)$ einer Kurve ist der Kehrwert des zugeh"origen
Kr"ummungsradius $\varrho(x)$:
$$k(x)=\frac{f''(x)}{(1+(f'(x))^2)^{\frac32}}\qquad
\varrho(x)=\frac{(1+(f'(x))^2)^{\frac32}}{f''(x)} $$

\begin{tiny}    Literatur: A.\ Kirsch, {\em "Ubergangsb"ogen bei Eisenbahngleisen als Thema f"ur den Mathematikunterricht}, MNU 50/3, S.\ 144-150  \end{tiny}

}
\LSG{
F"ur $x<0$ kann die Bahnlinie mit $f_1(x)=0$ beschrieben werden.\\
Bedingung f"ur die Bahnlinie:\\
$f(0)=f'(0)=f''(0)=0\ (I)$, $k(x)\propto x\ (II)$\\
Ansatz f"ur $x\ge 0$: $f_2(x)=a+bx+cx^2+dx^3+ex^4+...\quad\DANN$\\[2mm]
$f_2'(x)=b+2cx+3dx^2+4ex^3+...$,\quad $f_2''(x)=2c+6dx+12ex^2+...$\\[1mm]
Aus (I) folgt $a=b=c=0$.
(II) kann mit diesem Polynomansatz nicht exakt erf"ullt werden, da man mit
obigem Ansatz $\D k(x)=\frac{6dx+12ex^{2}+...}{(1+(3dx^2+4ex^3+...)^2)^{\frac32}}$
erh"alt.

F"ur kleine $x$ ist jedoch $f'(x)$ sehr klein und kann vernachl"assigt werden.
Man erh"alt $k(x)\approx f''(x)$.
F"ur diese N"aherung liefert $f_2(x)=dx^3$ eine L"osung.

Bestimmung von $d$ (Einheit: km) aus $\D\frac1r=k(x)\approx f''(x)=6dx$:\\
$k(0{,}2)\approx 6d\cdot 0{,}2=\frac{1}{1}\,\DANN\, d=\frac56$

Betrachtung der Abweichung von der exakt berechneten Kr"ummung bei $x=0{,}2$:\\
$\D k(0{,}2)=\frac{6\cdot\frac56\cdot 0{,}2}{(1+(3\cdot \frac56\cdot 0{,}2^2)^2)^{\frac32}}
=\frac{1}{1{,}015}$\\[2mm]
Bei $x=0{,}2$ wird der Kr"ummungsradius von $1000\,$m nicht exakt erreicht.
Dies macht sich in einem kleinen Ruck im Zug an der "Ubergangsstelle bemerkbar.
In der Praxis werden solche Abweichungen toleriert, da der entstehende Ruck
geringer als das "ubliche R"utteln des Zuges ist.
}
