\ANG{
Die im Unterricht angegebenen {\bf hinreichenden} Kriterien 
f"ur einen Extremwert sind keine {\bf notwendigen} Kriterien. Es gibt
z.B. Funktionen mit einem relativen Minimum in $x_0$, f"ur die es kein
noch so kleines positives $h$ gibt mit $f$ monoton fallend in
$]\,x_0-h\,;x_0\,[$ und $f$ monoton steigend in $]\,x_0\,;x_0+h\,[$. 
Als Beispiel betrachten wir die Funktion
\[ f(x) = 
\begin{cases} 
x^2\cdot (2+\sin\frac{1}{x}) & \text{f"ur $x\neq 0$}\\
\hspace*{12mm} 0 & \text{f"ur $x = 0$}\\   
\end{cases}
\]
\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie alle $x_{0k}$ mit $f(x)=2\,x^{2}$, alle 
  $x_{1k}$ mit $f(x)=3\,x^2$ sowie alle $x_{2k}$ mit $f(x)=x^2$ und
  zeichnen Sie dann die Graphen von $x^2$, $2x^{2}$, $3x^2$ und $f$
  mit den Einheiten $0{,}1\,\widehat{=}\,4\,$cm auf der $x$-Achse und   
  $0{,}01\,\widehat{=}\,1\,$cm auf der $y$-Achse im Bereich 
  $-0{,}2<x<0{,}2$.
\item Zeigen Sie, dass $f$ bei $x=0$ stetig ist und dort ein absolutes
  und relatives Minimum besitzt.
\item Berechnen Sie $f'(x)$ f"ur $x\neq 0$. 
\item Berechnen Sie $f'(0)$ mit der Definition der Ableitung.
\item Zeigen Sie, dass $f'$ bei $x=0$ unstetig ist und in jeder noch
  so kleinen Umgebung von 0 unendlich oft das Vorzeichen wechselt. 
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \parbox[t]{6cm}{ 
  $x_{00}=0$, $\D x_{0k}=\frac{1}{k\,\pi}$ f"ur $k\neq 0$\\[3mm]
  $\D x_{1k}=\frac{1}{(0{,}5+2k)\pi}$\\[3mm]
  $\D x_{2k}=\frac{1}{(1{,}5+2k)\pi}$
  }\hfill\parbox[t]{6cm}{
  \begin{tabular}[t]{c|ccc}
  $k$ & $x_{0k}$ & $x_{1k}$ & $x_{2k}$\\\hline
  0 & 0,000 & 0,637 & 0,212 \\
  1 & 0,318 & 0,127 & 0,091 \\
  2 & 0,159 & 0,071 & 0,058 \\
  3 & 0,106 & 0,049 & 0,042 \\
  4 & 0,080 & 0,037 & 0,034 \\
  5 & 0,064 & 0,030 & 0,028 \\
  6 & 0,053 & 0,025 & 0,024 \\
  7 & 0,045 & 0,022 & 0,021
  \end{tabular}
  }\\ 
  \EPSC{11rr100}{7.5cm}{6cm}{
  \PSFM{0.1}{0,1} \PSFM{0.2}{0,2} \PSFM{m0.1}{$-0{,}1$} 
  \PSFM{m0.2}{$-0{,}2$} \PSFM{0.02}{0,02} \PSFM{0.04}{0,04} 
  \PSFM{0.06}{0,06} \PSFM{0.08}{0,08}  
  } 
\item $\D x^{2}\leqq f(x)\leqq 3\,x^{2}\;\DANN\;
  \lim_{x\to 0}x^{2}\leqq\lim_{x\to 0}f(x)\leqq\lim_{x\to 0}3\,x^{2}
  \;\DANN$\\[3mm]
  $\D\lim_{x\to 0}f(x)=0=f(0)$, d.h. $f$ ist stetig bei $x=0$.\\[2mm]
  $f(x)>0\;\text{f"ur alle}\;x\neq 0$ und $f(0)=0\;\DANN\;$ absol. und
  rel. Min. bei $(0|0)$.\\
\item $\D f'(x)=4\,x+2\,x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$\\
\item $\D f'(0)=\lim_{h\to 0}\frac{h^{2}
  \left(2+\sin\frac{1}{h}\right)-0}{h}=0$\\
\item $\D f'(x)=\begin{cases}
  \D 4\,x+2\,x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x} & \text{f"ur $x\neq 0$}\\
   0 & \text{f"ur $x=0$}\\
  \end{cases}$,\quad
  aber $\D\lim_{x\to 0}f'(x)$ existiert nicht.\\[2mm] 
  $f$ ist in ganz $\RR$ differenzierbar, aber $f'$ ist bei $x=0$
  unstetig!\\[2mm] 
  Da $\D x\sin\frac{1}{x}$ f"ur $|x|\ll 1$ gegen 
  $\D\cos\frac{1}{x}$ vernachl"assigt werden kann, wechselt $f'$ in
  jeder noch so kleinen Umgebung von 0 unendlich oft das Vorzeichen!
\end{enumerate}
}
