\ANG{
Wir betrachten die Funktionenschar
\[f_{s}:\quad x\to f_{s}(x)=-x^{3}+sx^{2}\]
\begin{enumerate}
\item Berechne die Nullstellen und die relativen Extrema der Scharfunktionen $f_{s}$.
Auf welcher Kurve $K_{f}$ liegen alle Extrempunkte? Zeichne $K_{f}$ und die
Grafen von $f_{-2}$, $f_{1}$, $f_{2}$ und $f_{3}$ in ein Koordinatensystem.
\item Eine weitere Funktionenschar ist durch
\[F_{s}:\quad x\to F_{s}(x)=\int\limits_{0}^{x}f_{s}(t)\,\RMd t\]
gegeben. Berechne die Nullstellen und die relativen Extrema der Scharfunktionen $F_{s}$.
Auf welcher Kurve $K_{F}$ liegen alle Extrempunkte? Zeichne $K_{F}$ und die
Grafen von $F_{-2}$, $F_{1}$, $F_{2}$ und $F_{3}$ in ein Koordinatensystem.
\item Die Grafen von $f_{s}$ schlie"sen mit der $x$-Achse ein endliches
  Fl"achenst"uck mit dem Inhalt $A_{s}$ ein. Berechne $A_{s}$.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{6.5cm}{12rr0251}{7cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{1.0}{1} \PSFM{2.0}{2} \PSFM{3.0}{3} 
\PSFM{4.0}{} \PSFM{5.0}{5} \PSFM{-1.0}{$-1$} \PSFM{-2.0}{$-2$} 
\PSFM{-3.0}{$-3$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{f1}{$f_{1}$} 
\PSFM{1.5}{} \PSFM{2.5}{} \PSFM{3.5}{} 
\PSFM{0.5}{} \PSFM{4.5}{} \PSFM{-1.5}{} \PSFM{-2.5}{} 
\PSFM{-3.5}{} \PSFM{-0.5}{} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{f1}{$f_{1}$} 
\PSFM{f2}{$f_{2}$} \PSFM{f3}{$f_{3}$} 
\PSFM{fm2}{$f_{-2}$} \PSFM{Kf}{$K_{f}$}
}{
Nullstellen von $f$: $x_{01}=0$, $x_{02}=s$
\[f_{s}'(x)=-3x^{2}+2sx=x\left(2s-3x\right)\]
Nullstellen von $f'$: $x_{11}=0$, $x_{12}=\frac 23 s$
\[f_{s}''(x)=-6x+2s\]
$f_{s}''(x_{11})=2s$,\quad $f_{s}''(x_{12})=-2s\quad\DANN$\\[2mm]
\begin{tabular}[t]{rl}
$(0|0)$ ist Tiefpunkt f"ur & $s>0$\\
Hochpunkt f"ur & $s<0$\\
Terrassenpunkt f"ur & $s=0$
\end{tabular}

\begin{tabular}[t]{rl}
$\left(\frac{2s}{3}\,\vline\,\frac{4s^{3}}{27}\right)$ ist Hochpunkt f"ur & $s>0$\\
Tiefpunkt f"ur & $s<0$\\
Terrassenpunkt f"ur & $s=0$
\end{tabular}
}\\
$\text{E}\left(\frac{2s}{3}\,\vline\,\frac{4s^{3}}{27}\right)=
\text{E}\left(x_{E}\,\vline\, y_{E}\right)\QDQ 
K_{f}: x_{E}\to y_{E}=\frac 12 x_{E}^{3}$\rule[-8mm]{0mm}{12mm}
\item $\D F_{s}(x)=\int\limits_{0}^{x}(-x^{3}+sx^{2})\,\RMd x=
-\frac{1}{4}x^{4}+\frac{s}{3}x^{3}=x^{3}\left(\frac s3-\frac x4\right)$\\[2mm]
\EPSR{6.5cm}{12rr0252}{7cm}{}{
\PSFM{0}{0} \PSFM{1.0}{1} \PSFM{2.0}{2} \PSFM{3.0}{3} 
\PSFM{4.0}{4} \PSFM{5.0}{5} \PSFM{-1.0}{$-1$} \PSFM{-2.0}{$-2$} 
\PSFM{-3.0}{$-3$} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{f1}{$f_{1}$} \PSFM{6.0}{6} \PSFM{7.0}{} 
\PSFM{1.5}{} \PSFM{2.5}{} \PSFM{3.5}{} \PSFM{5.5}{} \PSFM{6.5}{} 
\PSFM{0.5}{} \PSFM{4.5}{} \PSFM{-1.5}{} \PSFM{-2.5}{} 
\PSFM{-3.5}{} \PSFM{-0.5}{} \PSFM{x}{$x$} \PSFM{y}{$y$}
\PSFM{f1}{$F_{1}$} 
\PSFM{f2}{$F_{2}$} \PSFM{f3}{$F_{3}$} 
\PSFM{fm2}{$F_{-2}$} \PSFM{Kf}{$K_{F}$}
}{
Nullstellen von $F$: $X_{01}=0$, $X_{02}=\frac{4}{3}s$
\[F_{s}'(x)=f_{s}(x)\]
Nullstellen von $F'$: $X_{11}=0$, $X_{12}=s$
\[F_{s}''(x)=f_{s}'(x)\]
$F_{s}''(X_{11})=0$ mit VZW f"ur $s\neq 0$:\\[2mm]
\begin{tabular}[t]{rl}
$(0|0)$ ist Terrassenpunkt f"ur & $s\neq 0$\\
Hochpunkt f"ur & $s=0$
\end{tabular}
$F_{s}''(X_{12})=-s^{2}<0\quad\DANN$\\[2mm]
$\left(s\,\vline\,\frac{s^{4}}{12}\right)$ ist immer Hochpunkt.\\[2mm]
$K_{F}: x_{E}\to y_{E}=\frac{1}{12} x_{E}^{4}$
}
\item $\D A_{s}=\left|\int\limits_{0}^{s}f_{s}(x)\,\RMd x\right|=|F_{s}(s)|=\frac{s^{4}}{12}$
\end{enumerate}
}
