\ANG{
Durch die Funktionenschar $f_a(x)=x^2+b\,x+c$ wird die Menge aller verschobenen
Normalparabeln beschrieben, die den Graphen der Funktion $h(x)=\frac{1}{x}$ in den
Punkten $\EPUNKT{P_{\it a}}{a}{\frac{1}{a}}$ ber"uhren.
\begin{enumerate}
\item Stellen Sie die Gleichung der Schar $f_a$ auf, d.h. dr"ucken Sie $b$ und
  $c$ durch $a$ aus. 
\item Beweisen Sie, dass der Scheitel des Graphen von $f_a$ durch 
  \[ \EPUNKT{S}{x_{\rm S}}{y_{\rm S}}\quad\mbox{mit}\quad
  x_{\rm S}=\frac{2\,a^3+1}{2\,a^2}
  \quad\mbox{und}\quad y_{\rm S}=\frac{4\,a^3-1}{4\,a^4}\]
gegeben ist.
\item Zeichnen Sie die Graphen von $h$ und $f_a$ f"ur
  $a\,\in\,\{\,-5\,;\,-1\,;\,-0{,}5\,;\,0{,}5\,;\,1\,;\,5\}$ in {\bf ein}
  Koordinatensystem.
\item $g$ sei die Menge aller Scheitelpunkte der Parabeln $f_a$. F"ullen Sie
  folgende Wertetabelle aus und zeichen Sie dann den Graphen von g.
\begin{center}\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$a$ & -5{,}0 & -2{,}0 & -1{,}0 & -0{,}5 & -0{,}4 & 0{,}4 & 0{,}5 & 0{,}7 & 
1{,}0 & 1{,}5 & 2{,}0 & 4{,}0\\\hline
$x_S$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &
\\\hline
$y_S$ &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &  &
\\\hline
\end{tabular}\end{center}
Ist $g$ eine Funktion? Die Darstellung von $g$ durch die beiden Funktionen
$x_S(a)$ und $y_S(a)$ nennt man {\em Parameterdarstellung} von $g$ mit dem
Parameter $a$.
\end{enumerate}
}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item  $\D f_{a}'(a)=h'(a)\quad\mbox{und}\quad f_{a}(a)=h(a)
 \quad\Longrightarrow\\[2mm] 
 b=-2\,a-\frac{1}{a^{2}} \quad\mbox{und}\quad c=\frac{2}{a}+a^{2}$\\[2mm]
 $\D f_{a}(x)=x^{2}+\left(-2\,a-\frac{1}{a^{2}}\right)\,x+\frac{2}{a}+a^{2}$
\item[(d)]\begin{scriptsize}\rm
\begin{tabular}[t]{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
$a$ & -5{,}0 & -2{,}0 & -1{,}0 & -0{,}5 & -0{,}4 & 0{,}4 & 0{,}5 & 0{,}7 & 
1{,}0 & 1{,}5 & 2{,}0 & 4{,}0\\\hline
$x_S$ & -4{,}98 & -1{,}88 & -0{,}5 & 1{,}5 & 2{,}73 & 3{,}53 & 2{,}5 & 1{,}72
& 1{,}5 & 1{,}72 & 2{,}13 & 4{,}03\\\hline
$y_S$ & -0{,}20 & -0{,}52 & -1{,}25 & -6{,}00 & -12{,3} & -7{,}27 & -2{,}00 
& 0{,}39 & 0{,}75 & 0{,}62 & 0{,}48 & 0{,}25 \\\hline
\end{tabular}\\[2mm]
\end{scriptsize}
$g$ ist keine Funktion.
\end{enumerate}
}










