\ANG{
\begin{enumerate}
\item Welche Bedingung m"ussen die Variablen $a, b$ und $c$ erf"ullen, damit der
Graph der Funktion $f(x)=ax^4+bx^2+c$ ($\DD=\RR$) drei waagrechte Tangenten hat.
Zeichnen Sie mit einer geeigneten Software die Graphen von $f(x)$ f"ur $a=c=1$
und verschiedene Werte f"ur $b$.
\item Wieviele waagrechte Tangenten hat der Graph der Funktion\\
$f(x)=x^5+bx^3-x$, $b\in\RR$, $\DD=\RR$?\\
Zeichnen Sie mit einer geeigneten Software die Graphen von $f(x)$ f"ur
verschiedene Werte f"ur $b$.
\item Wieviele waagrechte Tangenten hat der Graph der Funktion\\
$f(x)=x^5+bx^3+x$, $b\in\RR$ und $b^2>\frac{20}{9}$, $\DD=\RR$?\\
Zeichnen Sie mit einer geeigneten Software die Graphen von $f(x)$ f"ur
verschiedene Werte f"ur $b$.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $f'(x)=4ax^3+2bx=2x\cdot (2ax^2+b)=0\Leftrightarrow$
$x_1=0, x_{2/3}=\pm\sqrt{-\frac{b}{2a}}$.\\
Also: drei waagrechte Tangenten, wenn $a$ und $b$ verschiedene Vorzeichen
haben.
\item $f'(x)=5x^4+3bx^2-1=5q^2+3bq-1=0$\\
(Substitution: $q=x^2$)$\Rightarrow$\\
$q_{1}=\frac{-3b+\sqrt{9b^2+20}}{10}>0$. Da $\sqrt{9b^2+20}>|3b|\ge 3b\Rightarrow$\\
$x_1=\sqrt{\frac1{10}(-3b+\sqrt{9b^2+20})}$, $x_2=-\sqrt{\frac1{10}(-3b+\sqrt{9b^2+20})}$\\
$q_{2}=\frac{-3b-\sqrt{9b^2+20}}{10}<0$. Da $\sqrt{9b^2+20}>|3b|\ge 3b$.\\
Also: Der Graph von $f(x)$ hat zwei waagrechte Tangenten.
\item $f'(x)=5x^4+3bx^2+1=5q^2+3bq+1=0$\\
(Substitution: $q=x^2$)$\Rightarrow$\\
$q_{1}=\frac{-3b+\sqrt{9b^2-20}}{10}$. Da $\sqrt{9b^2-20}<|3b|$ folgt:
$q_{1}>0$ f"ur $b<0$ und $q_{1}<0$ f"ur $b>0$.\\
$q_{2}=\frac{-3b-\sqrt{9b^2-20}}{10}$. Da $\sqrt{9b^2-20}<|3b|$ folgt:
$q_{2}>0$ f"ur $b<0$ und $q_{2}<0$ f"ur $b>0$.\\
Also:\\
Der Graph von $f(x)$ hat vier waagrechte Tangenten wenn $b<-\frac{\sqrt{20}}{3}$
($q_1$ und $q_2$ positiv; Voraussetzung f"ur b beachten).\\
Der Graph von $f(x)$ hat keine waagrechte Tangenten wenn $b>-\frac{\sqrt{20}}{3}$
($q_1$ und $q_2$ negativ; Voraussetzung f"ur b beachten)).
\end{enumerate}
}
