\ANG{
Die Stromst"arke durch eine Schaltung aus einem Widerstand, einer Spule und
einem Kondensator h"angt von der Frequenz $f$ und der anliegenden Wechselspannung
($\omega=2\pi f$) ab. Sie berechnet sich nach der Formel
$$I(\omega)=\sqrt{
 \frac{100-2\omega^2}{100R^2+\omega^2}+0{,}01\omega^2}\ \ \ \ \DD=\RR_0^+.$$
F"ur $R$ setzt man dazu die Ma"szahl des enthaltenen ohmschen Widerstandes und f"ur
$f$ die Ma"szahl der Frequenz ein. $I(\omega)$ liefert dann die Ma"szahl der
Stromst"arke.

\begin{enumerate}
\item Betrachten Sie die Funktion $I(\omega )$ zun"achst f"ur $R=0$.

\begin{enumerate}
\item Vereinfachen Sie die Funktionsgleichung und geben Sie die Nullstellen der
Funktion an.
\item Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f"ur $\omega$ gegen Null
und gegen Unendlich.
\item Untersuchen Sie, ob die Funktion im gesamten Definitionsbereich
differenzierbar ist.
\item Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion.
\item Zeichnen Sie die Funktion f"ur $\omega\in[0;25]$.
\end{enumerate}

\item Betrachten Sie nun die allgemeine Form der Funktion

\begin{enumerate}
\item Berechnen Sie $I(10)$ in Abh"angigkeit von $R$.
\item Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f"ur $\omega$ gegen Null und
gegen Unendlich.
\item Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funktion.
\item Zeichnen Sie die Funktion f"ur $R=0{,}2$.
\item Zeichnen Sie $I(\omega)$ mit einer geeigneten Software f"ur
$R\in \{0; 0{,}1; 0{,}2;...\}$ und beschreiben Sie die Ver"anderungen der
Funktion.
\item F"ur welche Frequenz ist $I(\omega)$ unabh"angig von $R$?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

Hinweis: Die diskutierte Funktion beschreibt den Anregungsstrom eines
Parallelschwingkreises mit $L=0{,}1$ und $C=0{,}1$. Die allgemeine Funktion hei"st
$$I_{\rm ges}=\sqrt{
 \frac{1-2LC\omega^2}{R^2+\omega^2L^2}+\omega^2C^2}.$$

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item
\begin{enumerate}
\item $I(\omega)=|\frac{1}{0{,}1\omega}-0{,}1\omega|$, $N(10|0)$
\item $\displaystyle\lim_{\omega\rightarrow 0}I(\omega)=\infty$;
      $\displaystyle\lim_{\omega\rightarrow \infty}I(\omega)=\infty$
\item Bei $\omega =10$ nicht differenzierbar!
\item F"ur $\omega <10$ streng monoton fallend und f"ur
      $\omega >10$ streng monoton steigend.
\end{enumerate}

\item
\begin{enumerate}
\item $I(10)=\sqrt{1-\frac{1}{1+R^2}}=\frac{R}{\sqrt{1-R^{2}}}$
\item $\displaystyle\lim_{\omega\rightarrow 0}I(\omega)=\frac1R$;
      $\displaystyle\lim_{\omega\rightarrow \infty}I(\omega)=\infty$
\item waagrechte Tangente bei $\omega =0$;\\
      Minimum bei $\omega=10\sqrt{\sqrt{1+2R^2}-R^2}$
\item
\item $I(0)$ sinkt; $I(Minimum)$ steigt
\item $\omega=\sqrt{50}$
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


