\ANG{
Zerodur ist eine Glaskeramik, die "uber einen weiten Temperaturbereich
nur eine sehr kleine Temperaturausdehnung aufweist. Aus diesem Grund
findet es Anwendung als Spiegeltr"ager in der Lasertechnik und in
Teleskopen.\\
Die L"angenausdehnung $f(T)$ (in $\RFRAC{\mu m}{^\circ C}$) eines $10\,$m
langen Zerodurstabes in Abh"angigkeit
von der Temeratur $T$ in $^\circ\mathrm{C}$ l"asst sich n"aherungsweise
durch folgende Funktion beschreiben:

$$f(T)=-0{,}6+1{,}63\cdot \frac{T}{100 \,^\circ\mathrm{C}}
-2{,}91\cdot\left(\frac{T}{100 \,^\circ\mathrm{C}}\right)^{2}
-2{,}49\cdot\left(\frac{T}{100 \,^\circ\mathrm{C}}\right)^{3}$$

\begin{enumerate}
\item Untersuchen Sie den Kurvenverlauf von $f(T)$.
\item Zeichnen Sie $f(T)$ mit einer geeigneten Software im Bereich von
$-100 \,^\circ\mathrm{C}$ bis $100 \,^\circ\mathrm{C}$.
\item Eine exaktere Beschreibung der L"angenausdehnung liefert:
\begin{eqnarray}
\tilde{f}(T)&=&f(T)+\nonumber\\
&&+2{,}74\cdot \left(\frac{T}{100 \,^\circ\mathrm{C}}\right)^4
+1{,}43\cdot \left(\frac{T}{100 \,^\circ\mathrm{C}}\right)^5-\nonumber\\
&&-0{,}62\cdot \left(\frac{T}{100 \,^\circ\mathrm{C}}\right)^6
-0{,}26\cdot \left(\frac{T}{100 \,^\circ\mathrm{C}}\right)^7\nonumber
\end{eqnarray}

Zeichnen Sie $\tilde{f}(T)$ mit einer geeigneten Software
und vergleichen Sie den Graphen mit dem von $f(T)$.
Diskutieren Sie das Ergebnis.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Substitution: $\D x=\frac{T}{100 \,^\circ\mathrm{C}}$,\\[2mm]
Maximum $(0{,}22|-0{,}41)$, Minimum $(-1{,}00|-2{,}65)$,\\
Wendepunkt $(-0{,}39|-1{,}53)$
\item
\item Im Temperaturbereich von $-25 \,^\circ\mathrm{C}$ bis $25 \,^\circ\mathrm{C}$ weicht
$\tilde{f}(T)$ von $f(T)$ nur geringf"ugig ab. Hier stellt also $f(T)$
eine gen"ugend gute N"aherung dar.\\
Betrachtet man aber einen gr"o"seren Temperaturbereich,
muss $\tilde{f}(T)$ verwendet werden.\\
z.\ B.\ $\D |f(50 \,^\circ\mathrm{C})-\tilde{f}(50 \,^\circ\mathrm{C})|=0{,}204$,
$\D\frac{|f(50 \,^\circ\mathrm{C})-\tilde{f}(50 \,^\circ\mathrm{C})|}
{\tilde{f}(50 \,^\circ\mathrm{C})}=33\%$

Dem Diagramm entnimmt man, dass die L"angen"anderung $\tilde{f}(T)$
eines $10\,$m langen Stabes im Temperaturbereich von $-100 \,^\circ\mathrm{C}$
bis $100 \,^\circ\mathrm{C}$ ca.\ $1{,}0\RFRAC{\mu m}{\,^\circ\mathrm{C}}$ betr"agt.
Dies entspricht einer L"angenausdehung um $0{,}00001\%$ pro $^\circ\mathrm{C}$!
\end{enumerate}
}

\begin{tiny}    Literatur: {\em Mathematikaufgaben, Anwendungen aus der modernen
Technik und Arbeitswelt}, Werner Schmidt, Ernst Klett Verlag, 1984  \end{tiny}




