\ANG{
Eine Lemniskate ist die Menge aller Punkte P, f"ur die f"ur die
Abst"ande zu zwei gegebenen Punkten A$(-c|0)$ und B$(c|0)$ gilt:
$\overline{\mathrm{AP}}\cdot \overline{\mathrm{BP}}=c^2$
\begin{enumerate}
\item Bestimmen sie eine Gleichung zur Beschreibung einer Lemniskate.
\item Bestimmen sie die Nullstellen einer Lemiskate.
\item Bestimmen sie die Punkte mit waagrechten Tangenten.
\item Zeichnen sie die Lemniskaten f"ur $c=1,2,3,4,5$ mit einer
geeigneten Software.
\end{enumerate}

}
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $c^2=\sqrt{((x-c)^2+y^2)\cdot((x+c)^2+y^2)}\quad\DANN$\\[1mm]
$y^4+y^2(2x^2+2c^2)+x^4-2x^2c^2=0\quad\DANN$\\[2mm]
$f(x)=\pm\sqrt{-x^2-c^2+\sqrt{c^4+4x^2c^2}}$
\item $x_1=0$, $x_{2/3}=\pm\sqrt{2}c$
\item $\D f'(x)=\pm\frac{-x\sqrt{c^4+4x^2c^2}+2c^2x}
{\sqrt{-x^2-c^2+\sqrt{c^4+4x^2c^2}}\cdot\sqrt{c^4+4x^2c^2}}\quad\DANN$\\[2mm]
vier Punkte mit waagrechter Tangente:\\[1mm]
$\D x_{4/5}=\pm\frac{\sqrt{3}}{2}c$,
$\D y_{4a/4b}=y_{5a/5b}=\pm\frac12c$
\item
\end{enumerate}
}
