\ANG{
{\bfseries Pokern}\\[2mm]
Beim Pokern wird ein Kartenspiel mit 52 Blatt verwendet. Es gibt die 13
Kartenwerte 2,3,4,5,6,7,8,9,10,J,Q,K,A und die Farben Pik, Kreuz, Karo und
Herz. Jeder Spieler erh"alt f"unf Karten. Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit, dass Poker-Ass Joe folgendes Pokerblatter erh"alt:
\begin{enumerate}
\item Royal Flush: 10,J,Q,K,A in einer Farbe
\item Straight Flush: A,2,3,4,5 oder 2,3,4,5,6 oder 3,4,5,6,7 oder ...  oder
  9,10,J,Q,K, alle in einer Farbe
\item Vierer: vier gleiche Werte
\item Full House: Dreier und Paar, z.B. K,K,K,3,3
\item Flush: Alle Karten von der gleichen Farbe
\item Straight: A,2,3,4,5 oder 2,3,4,5,6 oder 3,4,5,6,7 oder ... oder 
  10,J,Q,K,A, nicht alle in einer Farbe
\item Dreier: drei gleiche Werte aber kein Full House
\item Zwei Paare: z.B. A,A,3,3,7
\item Ein Paar: zwei gleiche Werte, die restlichen Karten verschiedene Werte
\end{enumerate}
} 
\LSG{
Die Zahl der m"oglichen Pokerbl"atter zu f"unf Karten ist
$\D n=\binom{52}{5}=2\,598\,960$.
\begin{enumerate}
\item Royal Flush: $\D z=4\QDQ p=\frac{z}{n}=1{,}54\cdot 10^{-6}$
\item Straight Flush: $\D z=4\cdot 9=36\QDQ p=\frac{z}{n}=1{,}39\cdot 10^{-5}$
\item Vierer: $\D z=13\cdot 48=624\QDQ p=\frac{z}{n}=2{,}40\cdot 10^{-4}$
\item Full House: $\D z=13\cdot\binom{4}{3}\cdot 12\cdot\binom{4}{2}=3744
\QDQ p=\frac{z}{n}=1{,}44\cdot 10^{-3}$
\item Flush: $\D z=4\cdot\binom{13}{5}-36-4=5108
\QDQ p=\frac{z}{n}=1{,}97\cdot 10^{-3}$
\item Straight: $\D z=10\cdot 4^{5}-36-4=10200
\QDQ p=\frac{z}{n}=3{,}92\cdot 10^{-2}$
\item Dreier: $\D z=13\cdot\binom{4}{3}\cdot\frac{48\cdot 44}{2}=
54\,912\QDQ p=\frac{z}{n}=2{,}11\cdot 10^{-2}$
\item Zwei Paare: $\D z=\frac 12\cdot 13\cdot\binom{4}{2}\cdot
  12\cdot\binom{4}{2}\cdot 44=123\,552 
\QDQ p=\frac{z}{n}=4{,}75\cdot 10^{-2}$
\item Ein Paar: $\D 13\cdot\binom{4}{2}\cdot
 \frac{48\cdot 44\cdot 40}{3!} = 1\,098\,240
\QDQ p=\frac{z}{n}=0{,}423$
\end{enumerate}
}
