\ANG{
Aus einem Kartenspiel (52 Blatt) werden solange Kartenpaare gezogen und
beiseite gelegt, bis das Spiel aufgebraucht ist. 
\begin{enumerate}
\item Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit, dass jedes gezogene Paar genau aus
  einer roten und einer schwarzen Karte besteht?
\item Wie gro"s ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei jedem gezogenen Paar die
  erste Karte rot und die zweite Karte schwarz ist?
\item Die erste gezogene Kartes eines jeden Paares wird auf Stapel 1, die
  zweite auf Stapel 2 gelegt. Mit welcher \Wahr{} wird das Spiel so in einen
  roten und in einen schwarzen Stapel getrennt? 
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Anfangslage: $n$ rote und $n$ schwarze Karten. Die \Wahr{} f"ur ein P"archen ist 
\[p_{n}=P(\{rs,sr\})=\frac 12\cdot\frac{n}{2n-1}+\frac 12\cdot\frac{n}{2n-1}=
\frac{n}{2n-1}\]
Beim n"achsten Versuch ist die Ausgangslage $n-1$ rote und $n-1$ schwarze
Karten, d.h. die \Wahr f"ur ein zweites P"archen ist
\[p_{n-1}=\frac{n-1}{2(n-1)-1}=\frac{n-1}{2n-3}\]
Die gesuchte \Wahr ist dann
\begin{align*}
p &= p_{n}\cdot p_{n-1}\cdot p_{n-2}\cdot\ldots\cdot p_{1}=
  \frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 1}
     {(2n-1)\cdot(2n-3)\cdot(2n-5)\cdot\ldots\cdot 3\cdot 1}=\\
  &= \frac{n!\cdot(2n-2)\cdot(2n-4)\cdot\ldots\cdot 4\cdot 2}
     {(2n-1)!}=
     \frac{n!\cdot 2\cdot(n-1)\cdot 2\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot 2\cdot
       2\cdot 1}{(2n-1)!}=\\
  &=\frac{n!\cdot 2^{n-1}\cdot(n-1)!}{(2n-1)!}=
    \frac{n!\cdot 2^{n-1}\cdot(n-1)!\cdot 2n}{(2n-1)!\cdot 2n}=
    \frac{n!\cdot 2^{n}\cdot n!}{(2n)!}=
    \frac{2^{n}\cdot (n!)^{2}}{(2n)!}
\end{align*}
F"ur $n=26$ ist
\[p=\frac{2^{26}\cdot (26!)^{2}}{52!}=1{,}35\cdot 10^{-7}\]
\item Der Unterschied zu Teilaufgabe (a): Die \Wahr{} f"ur ein rs-Paar ist
  halb so gro"s wie $p_{n}$, d.h. die gesamte gesuchte \Wahr{} ist 
\[p'=\frac{1}{2^{n}}\cdot p=
  \frac{1}{2^{n}}\cdot\frac{2^{n}\cdot (n!)^{2}}{(2n)!}=
  \frac{(n!)^{2}}{(2n)!}\]
F"ur $n=26$ ist
\[p'=\frac{(26!)^{2}}{52!}=2{,}0\cdot 10^{-15}\]
\item Entweder Stapel 1 rot und Stapel 2 schwarz oder umgekehrt:
\[p''=2p'=\frac{2(n!)^{2}}{(2n)!}\]
F"ur $n=26$ ist $p''=4{,}0\cdot 10^{-15}$.
\end{enumerate}
}
