\ANG{
{\bfseries Das Geburtstagsparadoxon}
\begin{enumerate}
\item Berechne die \Wahr{} $p(n)$, dass unter $n$ zuf"allig ausgesuchten Personen
  mindestens zwei am gleichen Tag Geburtstag haben. Es darf angenommen werden,
  dass das Jahr 365 Tage hat und jeder Tag als Geburtstag gleichwahrscheinlich
  ist. Berechne speziell $p(2)$ bis $p(10)$, $p(20)$, $p(40)$ und $p(60)$.
\item Ab welcher Personenanzahl ist es bei einer Party g"unstig darauf zu
  wetten, dass mindestens zwei der G"aste am gleichen Tag Geburtstag haben?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item $\overline{p}(n)$ ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter $n$ Personen
  alle an verschiedenen Tagen Geburtstag haben:
\[\overline{p}(n)=\begin{cases}
\D\frac{365\cdot 364\cdot\ldots\cdot (365-n+1)}{365^{n}}=
\frac{365!}{365^{n}\cdot(365-n)!} &\text{f"ur $n\leqq 365$}\\
0 &\text{f"ur $n>365$}
\end{cases}
\]
Da der Taschenrechner $n!$ f"ur $n>69$ nicht berechnen kann, verwenden wir das
Ergebnis in der Form (hier ist keine Fallunterscheidung n"otig!)
\[\overline{p}(n)=
\frac{364}{365}\cdot\frac{363}{365}\cdot\ldots\frac{365-n+1}{365}=
\prod_{i=1}^{n-1}\frac{365-i}{365}\]
\[p(n)=1-\overline{p}(n)=1-\prod_{i=1}^{n-1}\frac{365-i}{365}\]
Eine weiter Form f"ur die Berechnung mit einem Taschenrechner, der die
Binomialkoeffizienten beherrscht:
\[\overline{p}(n)=\frac{365!}{365^{n}\cdot(365-n)!}=
\frac{365!\cdot n!}{365^{n}\cdot(365-n)!\cdot n!}=
\frac{n!}{365^{n}}\cdot\binom{365}{n}
\]
Weiter muss man aufpassen, dass der TR kein Zwischenergebnis $\geqq 10^{100}$
errechnet. Als Beispiel die Berechnung f"ur $n=40$:
\[\overline{p}(40)=\binom{365}{39}\cdot\frac{326}{40}:365^{20}:365^{20}\cdot
40!=0{,}10877\QDQ p(40)=0{,}89123\]
Noch etwas trickreicher die Berechnung f"ur $n=60$:
\[\binom{365}{60}=\underbrace{\frac{365\cdot 364\cdot\ldots\cdot 327}
                       {1\cdot 2\ldots\cdot 39}}_{\binom{365}{39}}\cdot
\underbrace{\frac{326\cdot 325\cdot\ldots\cdot 306}
                       {40\cdot 41\ldots\cdot
                         60}}_{\binom{326}{21}\cdot\frac{21!\cdot 39!}{60!}}
\]
\[\overline{p}(60)=\binom{365}{39}:60!\cdot\binom{326}{21}\cdot 21!\cdot 39!
:365^{20}:365^{20}:365^{20}\cdot 60!=0{,}005877\]
\[\QDQ p(60)=0{,}99412\]
\begin{center}
  \begin{tabular}[t]{c|c|c|c|c|c|c}
    $n$ & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\\hline
    $p(n)$ & 0,274\% & 0,820\% & 1,64\% & 2,71\% & 4,05\% & 5,62\% \\\hline\hline
    $n$ & 8 & 9 & 10 & 20 & 40 & 60  \\\hline
    $p(n)$ & 7,43\% & 9,46\% & 11,69\% & 41,14\% & 89,12\% & 99,41\%\\ 
  \end{tabular}
\end{center}
\item $\D p(22)=47{,}57\%$ und $\D p(23)=50{,}73\%\QDQ$ab 23 Personen 
\end{enumerate}
}
