\ANG{
{\bfseries Der runde Tisch}
\begin{enumerate}
\item $n$ Personen ($n\leqq s$) nehmen an einem runden Tisch mit $s$ St"uhlen
  Platz. Berechne die Anzahl der verschiedenen Sitzordnungen. Es gibt zwei
  Arten, das Wort {\em Sitzordnung} zu deuten; rechne mit beiden M"oglichkeiten.
\item Wie gro"s ist bei zuf"alligem Hinsetzen die Wahrscheinlichkeit, dass
  zwei Freunde unter den Platznehmenden nebeneinander sitzen?
\item Wie (b), aber f"ur drei Freunde!
\item Rechne (a), (b) und (c) noch einmal f"ur eine lange, nicht geschlossene
  Sitzreihe.
\item Aus $n$ Personen ($n\geqq s$) werden $s$ ausgew"ahlt und zuf"allig auf
  $s$ nummerierte St"uhle verteilt. Berechne die Anzahl der verschiedenen
  Sitzordnungen. 
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Sitzordnung 1: St"uhle nummeriert: 
$\D m_{1}=\mathrm{G\overline{Z}}(s,n)=\frac{s!}{(s-n)!}$\\[2mm]
Sitzordnung 2: St"uhle nicht nummeriert, es kommt nur darauf an, wer welche
Nachbarn hat. 
\[m_{2}=\frac{m_{1}}{s}=\frac{\mathrm{G\overline{Z}}(s,n)}{s}=
  \frac{(s-1)!}{(s-n)!}\]
\item Der erste Freund hat $s$ Sitzm"oglichkeiten, der zweite dann jeweils
  zwei (links oder rechts), die restlichen $n-2$ Personen auf $s-2$ Sitzen
  haben 
  \[\frac{(s-2)!}{(s-2-(n-2))!}=\frac{(s-2)!}{(s-n))!}\]
  Sitzm"oglichkeiten. Es gibt also
  \[g=\frac{2s(s-2)!}{(s-n))!}\]
  g"unstige Sitzm"oglichkeiten, d.h.
  \[p=\frac{g}{m_{1}}=\frac{2s(s-2)!(s-n)!}{s!(s-n))!}=\frac{2(s-2)!}{(s-1)!}=
  \frac{2}{s-1}\]
  Es "uberrascht, dass $p$ nicht von $n$ abh"angt. Die fertige L"osung zeigt
  uns einen eleganteren L"osungsweg:

  Sitzt der erste Freund, dann hat der zweite $s-1$ Sitzm"oglichkeiten, wovon
  zwei g"unstig sind, also $p=\frac{2}{s-1}$. 
\item Wenn der erste Freund schon sitzt, haben die beiden anderen noch
  \[\mathrm{G\overline{Z}}(s-1,2)=\frac{(s-1)!}{(s-3)!}=(s-1)(s-2)\]
  Sitzm"oglichkeiten, wovon sechs g"unstig sind (123,132,213,312,231,321):
  \[P=\frac{6}{(s-1)(s-2)}\]
\item \begin{enumerate}
   \item[(a)] Wie \GF{nummerierte Pl"atze}, d.h. $m_{1}$
   \item[(b)] Sitzt der erste Freund nicht auf einem Randplatz, dann hat der zweite
     zwei Sitzm"oglichkeiten, sonst nur eine. Von den insgesamt $s(s-1)$
     Sitzm"oglichkeiten der beiden Freunde sind also $1+2(s-2)+1=2(s-1)$
     g"unstig, also 
     \[p=\frac{2(s-1)}{s(s-1)}=\frac{2}{s}\]
   \item[(c)] Sitzt der erste Freud auf einem Randplatz, dann haben die beiden
     anderen zwei Sitzm"oglichkeiten (123, 132), sitzt er neben dem Randplatz, 
     dann haben sie vier (123,132,213,312) sonst sechs M"oglichkeiten. 
     Von den insgesamt $s(s-1)(s-2)$
     Sitzm"oglichkeiten der drei Freunde sind also $2+4+6(s-4)+4+2=6(s-2)$
     g"unstig, also 
     \[p=\frac{6(s-2)}{s(s-1)(s-2)}=\frac{6}{s(s-1)}\]
   \end{enumerate}
\item $\D\binom{n}{s}\cdot s!=\frac{n!s!}{s!(n-s)!}=\frac{n!}{(n-s)!}=
 \mathrm{G\overline{Z}}(n,s)$
\end{enumerate}
}
