\ANG{
Ein beschwipster Zecher schleudert drei Wurfpfeile auf eine Zielscheibe, die
aus f"unf gleich gro"sen Feldern besteht. Die Trefferwahrscheinlichkeit f"ur
jedes der nummerierten Felder ist gleich. Wie viele verschiedene Ausg"ange
kann das Pfeilwerfen haben, wenn vorausgesetzt wird, dass jeder Wurf die
Scheibe trifft und
\begin{enumerate}
\item die Reihenfolge der Treffer von Bedeutung ist
\item die Reihenfolge der Treffer nicht von Bedeutung ist?
\end{enumerate}
Wie gro"s ist in beiden F"allen die Wahrscheinlichkeit, dass alle Pfeile das
gleiche Feld treffen?
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Als Ergebnisraum verwenden wir $\Omega_{r}=\{111, 112,\,...\,,555\}$,
  wobei $xyz$ bedeutet: Pfeil 1 in Feld $x$, Pfeil 2 in Feld $y$ und Pfeil 3
  in Feld $z$.
\[z_{r}=|\Omega_{r}|= 5^{3}=125\]
  \begin{tabular}[t]{lrr}
    Drei verschiedene Felder:&$\D z_{r3}=5\cdot 4\cdot 3=$&60\\
    Zwei verschiedene Felder:&$\D z_{r2}=5\cdot 3\cdot 4=$&60\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\
    Alle im gleichen Feld:&$\D z_{r1}=1\cdot 5=$&5
  \end{tabular}\\[2mm]
Jedes der 125 Elementarereignisse hat die gleiche Wahrscheinlichkeit 
$p_{r}=\left(\frac 15\right)^{3}=\frac{1}{125}$.\\[2mm]
Die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses 
\[A=\text{\GF{Alle Pfeile in einem Feld}}=\{111, 222, 333, 444, 555\}\] 
ist dann 
\[P(A)=5p_{r}=\frac{1}{25}=\frac{z_{r1}}{z_{r}}\]
\item Als Ergebnisraum verwenden wir $\Omega=\{30000, 21000,\,...\,,00003\}$,
  wobei z.B. $01020$ bedeutet: ein Pfeil in Feld 2, 2 Pfeile 2 in Feld 4.\\[2mm]
  \begin{tabular}[t]{lrr}
    Drei verschiedene Felder:&$\D z_{3}=\frac{5\cdot 4\cdot 3}{3!}=$&10\\
    Zwei verschiedene Felder:&$\D z_{2}=5\cdot 4=$&20\rule[-3mm]{0mm}{8mm}\\
    Alle im gleichen Feld:&$\D z_{1}=1\cdot 5=$&5
  \end{tabular}\\[2mm]
$\D z=z_{1}+z_{2}+z_{3}=35$\\[2mm] 
oder mit der Formel f"ur ungeordnete Sichproben
mit Zur"ucklegen:
\[z=\binom{5+3-1}{3}=\binom{7}{3}=35\]
Es w"are falsch, hier $\D P(A)=\frac{z_{1}}{z}=\frac{5}{35}=\frac 17$ zu
verwenden, da die Elementarereignisse von $\Omega$ nicht gleichwahrscheinlich
sind (in dieser Form kein Laplace-Experiment). 

$\Omega$ ist eine Vergr"oberung von $\Omega_{r}$.
Z.B. entsprechen die Elemente 125, 152, 215, 251, 512 und 521 aus $\Omega_{r}$
nur dem einen Element 11001 aus $\Omega$. Dem Element $21000\in\Omega$
entsprechen die Elemente 112, 121, 211 aus $\Omega_{r}$, dagegen hat 
$30000\in\Omega$ nur ein Gegenst"uck $111\in\Omega_{r}$. Es folgt
\[p(30000)=p_{r},\quad p(21000)=3p_{r},\quad p(11100)=6p_{r}\]
Mit $A=\{30000, 03000, 00300, 00030, 00003\}$ folgt dann $\D P(A)=5p_{r}=\frac{1}{25}$
\end{enumerate}
}
