\ANG{
Eine Trommel enth"alt $a$ rote und $b$ blaue Kugeln. Mit einem Griff werden
$k$ Kugeln gezogen. Mit $P(x)$ bezeichnen wir die Wahrscheinlichkeit, dass
unter den gezogenen Kugeln genau $x$ blaue sind. 
\begin{enumerate}
\item Beweise: $\D P(x)=\frac{\D\binom{a}{k-x}\binom{b}{x}}{\D\binom{a+b}{k}}$.
\item Berechne $P(0)$, $P(1)$, $P(2)$, $P(3)$ und $P(4)$ f"ur $a=10$, $b=4$
  und $k=6$.  
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Wir denken uns die Kugeln nummeriert, z.B. die roten Kugeln von 1 bis
  $a$ und die blauen von $a+1$ bis $n=a+b$. Da es nicht auf die Reihenfolge
  ankommt und ohne Zur"ucklegen gezogen wird (\GF{mit einem Griff}), gibt es
  insgesamt $\D\binom{n}{k}$ M"oglichkeiten, $k$ Kugeln aus den $n$ Kugeln zu
  ziehen. Ein Zug mit genau $x$ blauen Kugeln hat $k-x$ rote Kugeln. Es gibt
  $\D\binom{a}{k-x}$ M"oglichkeiten, $k-x$ rote Kugeln aus $a$ roten Kugeln zu
  ziehen und $\D\binom{b}{x}$ M"oglichkeiten, $x$ blaue Kugeln aus $b$ blauen
  Kugeln zu ziehen. Insgesamt gibt es also $\D\binom{a}{k-x}\binom{b}{x}$ 
   M"oglichkeiten f"ur einen Zug mit $b$ blauen Kugeln.\\[2mm]
Andere Herleitung:\\[2mm]
Man stelle sich ein Baumdiagramm des $k$-stufigen Versuchs vor. F"ur einen
Pfad mit $k-x$ roten und $x$ blauen Kugeln ist die Wahrscheinlichkeit
\begin{align*}
p&=\frac{a\cdot(a-1)\cdot ...\cdot(a-k+x+1)}{n\cdot(n-1)\cdot
  ...\cdot(n-k+x+1)}\cdot
\frac{b\cdot(b-1)\cdot ...\cdot(b-x+1)}{(n-k+x)\cdot(n-k+x-1)\cdot
  ...\cdot(n-k+1)}=\\
&=\frac{a!}{(a-k+x)!}\cdot\frac{b!}{(b-x)!}\cdot\frac{(n-k)!}{n!}
\end{align*}
Die Zahl der Pfade mit $x$ blauen Kugeln ist gleich der Zahl der
M"oglichkeiten, $x$ ununterscheidbare blaue Kugeln auf $k$ Pl"atze zu
verteilen, also $\D\binom{k}{x}$. Damit gilt
\begin{align*}
P(x)&=p\cdot\binom{k}{x}=
\frac{a!}{(a-k+x)!}\cdot\frac{b!}{(b-x)!}\cdot\frac{(n-k)!}{n!}\cdot
\frac{k!}{x!(k-x)!}=\\
&=\frac{a!}{(k-x)!(a-k+x)!}\cdot\frac{b!}{x!(b-x)!}\cdot
\frac{k!(n-k)!}{n!}=\frac{\D\binom{a}{k-x}\binom{b}{x}}{\D\binom{a+b}{k}}
\end{align*}
\item $\D P(x)=\frac{\D\binom{10}{6-x}\binom{4}{x}}{\D\binom{14}{6}}$,\quad
 $\D
 P(0)=\frac{\D\binom{10}{6}\binom{4}{0}}{\D\binom{14}{6}}=\frac{70}{1001}=6{,}993\%$\\[2mm]
 $\D
 P(1)=\frac{\D\binom{10}{5}\binom{4}{1}}{\D\binom{14}{6}}=\frac{336}{1001}=33{,}566\%$,\quad
 $\D
 P(2)=\frac{\D\binom{10}{4}\binom{4}{2}}{\D\binom{14}{6}}=\frac{420}{1001}=41{,}598\%$\\[2mm]
 $\D
 P(3)=\frac{\D\binom{10}{3}\binom{4}{3}}{\D\binom{14}{6}}=\frac{160}{1001}=15{,}984\%$,\quad
 $\D
 P(4)=\frac{\D\binom{10}{2}\binom{4}{4}}{\D\binom{14}{6}}=\frac{15}{1001}=1{,}499\%$ 
\end{enumerate}
}
