\ANG{
Ordne folgenden Problemen die richtige Grundaufgabe der Kombinatorik zu und berechne
dann die Anzahl der M"oglichkeiten:
\begin{enumerate}
\item Aus den 26 Buchstaben des Alphabets werden beliebige W"orter der L"ange f"unf
  gebildet.
\item Wie (a), jedoch jeder Buchstabe h"ochstens einmal.
\item Lotto \GF{6 aus 49}.
\item Zehn Personen stellen sich in einer Reihe auf.
\item Zehn Kugeln mit den Ziffern 0 bis 9 auf drei Urnen verteilen.
\item Zehn Elektronen (ununterscheidbar) auf drei verschiedene Atome verteilen.
\item Zehn Elektronen (ununterscheidbar) auf drei gleiche Atome verteilen.
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item Geordnet mit Zur"ucklegen: $n=26^{5}=11\,881\,376$
\item Geordnet ohne Zur"ucklegen: $\D n=\frac{26!}{(26-5)!}=
  26\cdot 25\cdot 24\cdot 23\cdot 22=7\,893\,600$
\item Ungeordnet ohne Zur"ucklegen: $\D n=\binom{49}{6}=13\,983\,816$
\item Geordnet ohne Zur"ucklegen (Permutation): $\D n=10!=3\,628\,800$
\item Geordnet mit Zur"ucklegen: $\D n=3^{10}=59\,049$
\item  Ungeordnet mit Zur"ucklegen: $\D n=\binom{3+10-1}{10}=
  \binom{12}{10}=\binom{12}{2}=66$\\[2mm]
Sind $x_{1}$, $x_{2}$ und $x_{3}$ die Besetzungszahlen, dann kann man das
Problem auch so formulieren:

Wie viele L"osungen aus $\NN_{0}$ hat die Gleichung $x_{1}+x_{2}+x_{3}=10$?
\item Das ist keine unserer Grundaufgaben. Anders formuliert lautet das
  Problem:

Wie viele L"osungen aus $\NN_{0}$ hat die Gleichung $x_{1}+x_{2}+x_{3}=10$ 
mit $x_{1}\leqq x_{2}\leqq x_{3}$?
F"ur dieses Problem gibt es keine einfache geschlossene Formel. Wir l"osen es
durch das Hinschreiben aller M"oglichkeiten f"ur $(x_{1},x_{2},x_{3})$:
(0,0,10), (0,1,9), (0,2,8), (1,1,8), (0,3,7), (1,2,7), (0,4,6), (1,3,6), 
  (2,2,6), (0,5,5), (1,4,5), (2,3,5), (2,4,4), (3,3,4), also 14
  M"oglichkeiten.\\[2mm]
Weiterf"uhrende Lekt"ure: Im Netz nach {\em Partiton Function} suchen
(z.B. auf den Seiten von WolframMathWorld). Mit der Rundungsfunktion oder
nint-Funktion ({\em nearest integer})
\[[x]=\text{n"achstgelegene ganze Zahl von }x,\]
wobei Komma-F"unf-Zahlen auf die n"achste {\em gerade} Zahl gerundet werden
($[1{,}5]=2$, $[2{,}5]=2$, $[3{,}5]=4$) und der Abrundfunktion oder
floor-Funktion
\[\lfloor x\rfloor=\text{n"achstkleinere ganze Zahl von }x\]
($\lfloor -2{,3}\rfloor=-3$, $\lfloor 2{,3}\rfloor=2$) hat die
Gleichung $x_{1}+x_{2}+x_{3}=n$ mit $x_{1}\leqq x_{2}\leqq x_{3}$ genau
\[1+\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor+\left[\frac{n^{2}}{12}\right]\]
L"osungen in $\NN_{0}$. F"ur $n=10$ ergibt sich
\[1+\left\lfloor\frac{10}{2}\right\rfloor+\left[\frac{10^{2}}{12}\right]=
1+\lfloor 5\rfloor+[8{,}\overline{3}]=1+5+8=14\]
\end{enumerate}
}
