\ANG{
{\bf Aufgaben zur Anwendung}

Ein Ko-Frosch sitzt auf einem Gitterpunkt eines Koordinatensystems und kann 
jeweils nur zum n"achsten Gitterpunkt nach oben oder nach rechts springen und 
zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{2}$.\\
{\it Beispiel:} Befindet sich der Ko-Frosch auf dem Gitterpunkt $(4|3)$, dann 
kann er nur nach $(4|4)$ oder $(5|3)$ springen.
\begin{enumerate}
\item Der Ko-Frosch sitzt auf dem Gitterpunkt $(0|0)$.
	\begin{enumerate}
	\item Auf welchen Gitterpunkten kann er sich nach $5$ Spr"ungen befinden?
	\item Wie viele Spr"unge ben"otigt er, um den Gitterpunkt $(18|17)$ zu 
	erreichen?
	\item Denk dir weitere zwei weitere Fragen aus und beantworte sie.
	\end{enumerate}
\item Der Ko-Frosch sitzt auf dem Gitterpunkt $(0|0)$ des Koordinatensystems 
und kann jeweils nur zum n"achsten Gitterpunkt nach oben oder nach rechts 
springen und zwar jeweils mit der Wahrscheinlichkeit $p=\frac{1}{2}$
	\begin{enumerate}
	\item Mit welcher Wahrscheinlichkeit erreicht er den Gitterpunkt 
	$(4|0)$, den Gitterpunkt $(8|1)$, den Gitterpunkt $(2|2)$?
	\item Mit welcher Wahrscheinlichkeit sitzt er nach $20$ Spr"ungen nicht 
	auf einer Koordinatenachse?
	\item Denk dir weitere zwei weitere Fragen aus und beantworte sie.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\includegraphics[width=10cm]{18im039p1} 
\end{center}
}

\LSG{
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item Bedingung $x+5=5$, also $(0|5)$, $(1|4)$, $(2|3)$, $(3|2)$, $(4|1)$, $(5|0)$
	\item $18+17=35$ 
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
	\item $p((4|0))=(\frac12)^4=6,25\% $, $p((8|1))=9\cdot (\frac12)^9=1,76\% $, $p((2|2))=3 \cdot (\frac12)^4=18,8\%$
	\item $p_{nicht auf KO-Achse}=1-2\cdot (\frac12)^{20}=99,9998\%$	
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
}
