\ANG{
Eine Laplace-M"unze wird $n$-mal geworfen, \GF{Kopf} ist ein Treffer, \GF{Zahl} eine
Niete. 
\begin{enumerate}
\item Zeichne ein Histogramm von $B(n,p,k)$ f"ur $n=10$. Zeige, dass das Histogramm
  f"ur beliebiges $n$ symmetrisch ist.
\item Wir betrachten das Histogramm f"ur ein gerades $n$. Zeige, dass die
  Nachbars"aulen der mittleren S"aule weniger hoch sind als die
  mittlere S"aule.   
\item Wie oft muss die M"unze mindestens geworfen werden, damit mit mindestens
  90\%-er Sicherheit mindestens einmal \GF{Kopf} geworfen wird? Wie gro"s ist die
  Wahrscheinlichkeit f"ur das \GF{mindestens einmal Kopf werfen} dann genau?
\end{enumerate}
} 
\LSG{
\begin{enumerate}
\item \EPSR{8cm}{12rr0461}{6cm}{}{
\PSFM{x}{$k$} \PSFM{y}{$B$}
}
{$B(n;\frac 12;k)=\D\binom{n}{k}\frac{1}{2^{k}}\cdot\frac{1}{2^{n-k}}=
\binom{n}{k}\frac{1}{2^{n}}$\\[2mm]
$B(n;\frac 12;n-k)=\D\binom{n}{k}\frac{1}{2^{n-k}}\cdot\frac{1}{2^{k}}=
\binom{n}{k}\frac{1}{2^{n}}$\\[2mm]
$B(n;\frac 12;k)=B(n;\frac 12;n-k)\QDQ$\\[2mm]
$B(n;\frac 12;k)$ ist symmetrisch zur Geraden $k=\frac{n}{2}$
}
\item Mittlere S"aule: $B(n;\frac 12;\frac n2)=\D\binom{n}{\frac n2}\cdot
\frac{1}{2^{n}}=\frac{n!}{2^{n}\cdot \left(\frac n2\right)!^{2}}$\\[2mm]
S"aulen daneben: 
\begin{align*}
{\T B(n;\frac 12;\frac n2-1)} &= {\T B(n;\frac 12;\frac n2+1)}=
\D\binom{n}{\frac n2+1}\cdot\frac{1}{2^{n}}=
\frac{n!}{2^{n}\cdot \left(\frac n2+1\right)!\cdot \left(\frac n2-1\right)!}=\\
 &=\frac{n!}{2^{n}\cdot \left(\frac n2+1\right)\cdot\frac n2\cdot
  \left(\frac n2-1\right)\cdot\ldots\cdot 1\cdot \left(\frac n2-1\right)
\cdot\left(\frac n2-2\right)\cdot\ldots\cdot 1}=\\
 &=\frac{\frac n2\cdot n!}{\left(\frac n2+1\right)\cdot 2^{n}\cdot\frac n2\cdot
  \left(\frac n2-1\right)\cdot\ldots\cdot 1\cdot\frac n2\cdot \left(\frac n2-1\right)
\cdot\left(\frac n2-2\right)\cdot\ldots\cdot 1}=\\
 &=\frac{\frac n2}{\frac n2+1}\cdot\frac{n!}{2^{n}\cdot \left(\frac
     n2\right)!^{2}}=
  \underbrace{\frac{n}{n+2}}_{<1}\cdot {\T B(n;\frac 12;\frac n2)}
<{\T B(n;\frac 12;\frac n2)}
\end{align*}
\item $\D P(\text{\GF{mindestens einmal K}})=1-P(\text{\GF{kein K}})=
1-\frac{1}{2^{n}}\geqq 0{,}9$\\[2mm]
$\D \frac{1}{2^{n}}\leqq 0{,}1\QDQ 2^{n}\geqq 10\QDQ n\ln 2\geqq \ln 10
\QDQ n\geqq\frac{\ln 10}{\ln 2}=3{,}32$\\[2mm]
Die M"unze muss mindestens viermal geworfen werden.
\[P(\text{\GF{mindestens einmal K}})=1-\frac{1}{2^{4}}=\frac{15}{16}=93{,}75\%\]
\end{enumerate}
}
